Composta iniettiva.

[galles90]

Buongiorno,

Se condidero due funzioni rispettivamente

$f:S to T$, $g:T to V$

se $g circ f $ è iniettiva e $f$ suriettiva, $g$ è iniettiva.

Dimostrazione:

Dobbiamo far vedere che $y,y' in T$ con $g(y)=g(y')$ segue $y=y'$.
Dall'ipotesi che $f$ è suriettiva esistono $x,x' in S$ tale che $y=f(x)$ e $y'=f(x')$,
allora $g circ f (x)= g circ f (x')$ segue $x=x'$.
Quindi, si ha $y=y'$

L'ultimo passaggio che non mi risulta chiaro, cioè, avviene questo per definizione di funzione, in quanto

Definizione "poco formale"
$forall x in X$ esiste uno ed uno solo $y in Y$ dipendente in generale da $x$

[solaàl]

Sì, stai usando il fatto che se $a=b$, allora $f(a)=f(b)$ ($f(a)$ è l'unico elemento $x$ tale che \((a,x)\in f\): se \(a=b\) allora \((a,fa)=(b,fb) = (a,x)\)). Se applicare una funzione a due cose uguali non desse come risultato due cose uguali saresti nei guai!