Composta di due permutazioni
Salve ragazzi,
non ho capito come si svolge l'operazione di composizione tra due permutazioni!
Vi propongo un esempio semplice sul quale potreste aiutarmi:
Ho due permutazioni: $f$ e $g$ $in$ S5
$f$ =
/ $1 2 3 4 5$ \
\ $5 1 4 3 2$ /
$g$ =
/ $1 2 3 4 5$ \
\ $2 1 5 3 4$ /
Come posso svolgere $f * g$? (inteso come composizione o prodotto)
non ho capito come si svolge l'operazione di composizione tra due permutazioni!
Vi propongo un esempio semplice sul quale potreste aiutarmi:
Ho due permutazioni: $f$ e $g$ $in$ S5
$f$ =
/ $1 2 3 4 5$ \
\ $5 1 4 3 2$ /
$g$ =
/ $1 2 3 4 5$ \
\ $2 1 5 3 4$ /
Come posso svolgere $f * g$? (inteso come composizione o prodotto)
Risposte
inizia col considerare i cicli disgiunti delle singole permutazioni...
$f$ in cicli disgiunti è:
($1 5 2$)
($3 4$)
$g$ in cicli disgiunti è:
($1 2$)
($3 5 4 $)
ora come procedo?
($1 5 2$)
($3 4$)
$g$ in cicli disgiunti è:
($1 2$)
($3 5 4 $)
ora come procedo?
Non è strettamente necessario passare attraverso i cicli disigunti... basta solo lavorare per bene. Anzitutto, che cosa sono le permutazioni? nulla di "speciale", in fondo: sono delle semplici biiezioni, cioè delle funzioni, o applicazioni. Quindi, proprio come per le funzioni, $f circ g$ significa: prima applichi la $g$, poi al risultato applichi la $f$ (non è un'interpretazione universale questa, ma di solito è quella più usata).
Ad esempio, supponiamo di voler trovare l'immagine di $1$ mediante la $f circ g$: cerchiamo, cioè, $(f circ g)(1)$.
Procediamo come descritto sopra: $g(1)=2$. Ora facciamo $f(g(1))=f(2)=1$.
Chiaro? Rifai questo discorso per tutti e cinque i termini e hai finito.
Se hai bisogno posta pure, siamo qui.
Ad esempio, supponiamo di voler trovare l'immagine di $1$ mediante la $f circ g$: cerchiamo, cioè, $(f circ g)(1)$.
Procediamo come descritto sopra: $g(1)=2$. Ora facciamo $f(g(1))=f(2)=1$.
Chiaro? Rifai questo discorso per tutti e cinque i termini e hai finito.
Se hai bisogno posta pure, siamo qui.
Grazie mille Paolo, infatti poi ci sono arrivato da solo 
mi è bastato ragionare sulla definizione stessa di Applicazione Composta! (come hai fatto tu del resto)
Però vorrei avere certezze riguardo le definizioni di classe pari e dispari!
Nel caso della permutazione $f$
/ $12345$ \
\ $51432$ /
essa si decompone nei seguenti cicli disgiunti: ($152$)($34$)
questa decomposizione si può scrivere a sua volta come composizione di trasposizioni, cioè: ($12$)($15$)($34$)
Allora adesso posso dire che la permutazione $f$ è di classe Dispari? (poichè conto che essa è stata decomposta in 3 trasposizioni)
Poi ti propongo un altro esempio:
Ho la seguente permutazione
$g in$ S9
/ $123456789$ \
\ $987654312$ /
decomposta in cicli disgiunti: $g=$($1928$)($37$)($46$) con $5$ fisso!
la composizione delle trasposizioni è: ($18$)($12$)($19$)($37$)($46$)
La mia domanda a riguardo è: anche $g$ è di classe Dispari?
mi è bastato ragionare sulla definizione stessa di Applicazione Composta! (come hai fatto tu del resto)Però vorrei avere certezze riguardo le definizioni di classe pari e dispari!
Nel caso della permutazione $f$
/ $12345$ \
\ $51432$ /
essa si decompone nei seguenti cicli disgiunti: ($152$)($34$)
questa decomposizione si può scrivere a sua volta come composizione di trasposizioni, cioè: ($12$)($15$)($34$)
Allora adesso posso dire che la permutazione $f$ è di classe Dispari? (poichè conto che essa è stata decomposta in 3 trasposizioni)
Poi ti propongo un altro esempio:
Ho la seguente permutazione
$g in$ S9
/ $123456789$ \
\ $987654312$ /
decomposta in cicli disgiunti: $g=$($1928$)($37$)($46$) con $5$ fisso!
la composizione delle trasposizioni è: ($18$)($12$)($19$)($37$)($46$)
La mia domanda a riguardo è: anche $g$ è di classe Dispari?
Certo, tutto corretto.
Tieni conto che la parità di una permutazione è molto importante, perchè è invariante: se decomponi una permutazioni in un numero pari di trasposizioni (o scambi), allora potrai decomporla solo in un numero pari di scambi. Ovviamente vale lo stesso per il dispari: ad esempio, le permutazioni che hai scritto tu in $S_5$ e $S_9$ non potrai mai scriverle come prodotto di un numero pari di scambi.
Chiaro?
Tieni conto che la parità di una permutazione è molto importante, perchè è invariante: se decomponi una permutazioni in un numero pari di trasposizioni (o scambi), allora potrai decomporla solo in un numero pari di scambi. Ovviamente vale lo stesso per il dispari: ad esempio, le permutazioni che hai scritto tu in $S_5$ e $S_9$ non potrai mai scriverle come prodotto di un numero pari di scambi.
Chiaro?
Ok chiaro! Grazie ancora!
Mi potresti aiutare a fare questo calcolo?
Ho la permutazione $f in$ S6
/ 123456 \
\ 261453 /
non riesco a calcolare $f^3$
Mi potresti aiutare a fare questo calcolo?
Ho la permutazione $f in$ S6
/ 123456 \
\ 261453 /
non riesco a calcolare $f^3$
In $S_6$:
$f=((1, 2, 3, 4, 5, 6),(2, 6, 1, 4, 5, 3))$
Calcolare $f^3$ significa semplicemente applicare tre volte la permutazione: ad es, $f(1)=2$. Adesso faccio $f(2)=6$ e ancora $f(6)=3$: in definitiva $f^3(1)=3$.
Tutto ok? Take care.
$f=((1, 2, 3, 4, 5, 6),(2, 6, 1, 4, 5, 3))$
Calcolare $f^3$ significa semplicemente applicare tre volte la permutazione: ad es, $f(1)=2$. Adesso faccio $f(2)=6$ e ancora $f(6)=3$: in definitiva $f^3(1)=3$.
Tutto ok? Take care.
Si si questo mi è chiaro! Non riesco a scrivere la permutazione $f^3$ in forma estesa:
$f^3=((1, 2, 3, 4, 5, 6),(?, ?, ?, ?, ?, ?))$
in modo poi da scriverla sottoforma di ciclo o cicli disgiunti!
Grazie per la pazienza!
$f^3=((1, 2, 3, 4, 5, 6),(?, ?, ?, ?, ?, ?))$
in modo poi da scriverla sottoforma di ciclo o cicli disgiunti!
Grazie per la pazienza!
"xsl":
Si si questo mi è chiaro! Non riesco a scrivere la permutazione $f^3$ in forma estesa:
$f^3=((1, 2, 3, 4, 5, 6),(?, ?, ?, ?, ?, ?))$
in modo poi da scriverla sottoforma di ciclo o cicli disgiunti!
Grazie per la pazienza!
Non capisco, se ti è chiaro ciò ho scritto io nel post sopra come fai a non scrivere la permutazione in forma estesa? Parti da un elemento. Ne fai l'immagine. Ottieni un valore: bene prendi questo valore e rifanne l'immagine. Ottieni ancora un numero: riapplica la $f$ a questo numero.
Ripeti questo ragionamento per tutti i numeri da $1$ a $6$ e sei a posto.
Ok?
Praticamente nei calcoli (che in realtà come hai detto tu, è un gioco di sostituzioni) arrivo a questo punto
$f^3=((1, 2, 3, 4, 5, 6),(3, 1, 2, 6, ?, ?))$
Nel momento in cui giungo a calcolare $f(6)$ si ottiene $3$ che è già tra le immagini, come procedo?
$f^3=((1, 2, 3, 4, 5, 6),(3, 1, 2, 6, ?, ?))$
Nel momento in cui giungo a calcolare $f(6)$ si ottiene $3$ che è già tra le immagini, come procedo?
Non capisco come ti esca il $6$ come immagine del $4$, ad esempio... in ogni caso a me risulta $((1, 2, 3, 4, 5 ,6), (3, 1, 6, 4, 5, 2))$ che ancora una permutazione di $S_6$...
Non lo so forse sono stanco! Per favore mi scrivi come ti esce quella permutazione? oggi devo finire questo argomento 
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