Composizione di funzioni
Sto provando a risolvere i seguente esercizio:
Sia $f: A -> B$ e $g: B -> C$ e sia $g o f: A -> C$ la relativa composizione funzionale; verificare che:
a) se $g o f$ e' iniettiva, $f$ e' iniettiva
b) se $g o f$ e' suriettiva, $g$ e' suriettiva
c) se $g o f$ e' iniettiva e $f$ e' suriettiva, $g$ e' iniettiva
d) se $g o f$ e' suriettiva e $g$ e' iniettiva, $f$ e' suriettiva.
Soluzione:
a) una funzione e' iniettiva se $a!=b => f(a)!=f(b)$ oppure $f(a)=f(b) => a=b$ quindi $g(f(a))=g(f(b))$ da cui $(g o f)(a)=(g o f)(b)$, ed essendo $g o f$ iniettiva ho che $a=b$
b) $g o f$ suriettiva implica che $AAc in C$ $EEa in A$ tale che $g(f(a)) = c$ e $c in Im(g o f)$ e infine $Im(g o f) = C$, ma se la controimmagine di $g o f$ e' diversa dall'insieme nullo (cioe' contiene almeno un elemento), affinche' $g$ sia suriettiva anche la sua controimmagine $g^-1$ deve essere diversa dall'insieme nullo, infatti $g^-1=f(a) in Imf$, quindi anche $g$ e' suriettiva.
c) $g o f$ iniettiva implica che $(g o f)(a1) = (g o f)(a2)$, mentre $f$ suriettiva implica che $AAb in B, EEa in A$ tale che $b=f(a)$, o meglio che $b1=f(a1)$ e $b2=f(a2)$ per cui avrei che:
$(g o f)(a1)=(g o f)(a2)$ , $g(f(a1)) = g(f(a2))$, $g(b1)=g(b2)$, ma essendo $g o f$ iniettiva abbiamo $a1=a2$ da cui ne consegue che anche $b1=b2$, quindi $g$ e' iniettiva.
d) $g o f$ suriettiva implica che $AAc in C, EEa in A$ tale che $g(f(a))=c$, e che $g$ iniettiva implica che $g(b1)=g(b2) => b1=b2$. Ora, dato che $g(b)=c$ posso scrivere che $g(f(a))=c=g(b)$ ma a questo punto non riesco a "vedere" la suriettivita' di $f$.... mi sono perso
Sia $f: A -> B$ e $g: B -> C$ e sia $g o f: A -> C$ la relativa composizione funzionale; verificare che:
a) se $g o f$ e' iniettiva, $f$ e' iniettiva
b) se $g o f$ e' suriettiva, $g$ e' suriettiva
c) se $g o f$ e' iniettiva e $f$ e' suriettiva, $g$ e' iniettiva
d) se $g o f$ e' suriettiva e $g$ e' iniettiva, $f$ e' suriettiva.
Soluzione:
a) una funzione e' iniettiva se $a!=b => f(a)!=f(b)$ oppure $f(a)=f(b) => a=b$ quindi $g(f(a))=g(f(b))$ da cui $(g o f)(a)=(g o f)(b)$, ed essendo $g o f$ iniettiva ho che $a=b$
b) $g o f$ suriettiva implica che $AAc in C$ $EEa in A$ tale che $g(f(a)) = c$ e $c in Im(g o f)$ e infine $Im(g o f) = C$, ma se la controimmagine di $g o f$ e' diversa dall'insieme nullo (cioe' contiene almeno un elemento), affinche' $g$ sia suriettiva anche la sua controimmagine $g^-1$ deve essere diversa dall'insieme nullo, infatti $g^-1=f(a) in Imf$, quindi anche $g$ e' suriettiva.
c) $g o f$ iniettiva implica che $(g o f)(a1) = (g o f)(a2)$, mentre $f$ suriettiva implica che $AAb in B, EEa in A$ tale che $b=f(a)$, o meglio che $b1=f(a1)$ e $b2=f(a2)$ per cui avrei che:
$(g o f)(a1)=(g o f)(a2)$ , $g(f(a1)) = g(f(a2))$, $g(b1)=g(b2)$, ma essendo $g o f$ iniettiva abbiamo $a1=a2$ da cui ne consegue che anche $b1=b2$, quindi $g$ e' iniettiva.
d) $g o f$ suriettiva implica che $AAc in C, EEa in A$ tale che $g(f(a))=c$, e che $g$ iniettiva implica che $g(b1)=g(b2) => b1=b2$. Ora, dato che $g(b)=c$ posso scrivere che $g(f(a))=c=g(b)$ ma a questo punto non riesco a "vedere" la suriettivita' di $f$.... mi sono perso
Risposte
Le dimostrazioni sono scritte male, purtroppo. Ti faccio un esempio:
Date [tex]f: A \to B[/tex], [tex]g: B \to C[/tex], la cosa da dimostrare è la seguente: "se [tex]g \circ f[/tex] è suriettiva allora [tex]g[/tex] è suriettiva".
1) Supponi che [tex]g \circ f[/tex] sia suriettiva. Devi mostrare che [tex]g[/tex] è suriettiva.
2) Prendi quindi [tex]c \in C[/tex] e vuoi trovare [tex]b \in B[/tex] tale che [tex]g(b)=c[/tex].
3) Per ipotesi [tex]g \circ f[/tex] è suriettiva, quindi esiste [tex]a \in A[/tex] tale che [tex]g(f(a))=c[/tex].
4) Quindi basta scegliere [tex]b := f(a)[/tex].
Prova a riscrivere anche le altre seguendo un procedimento di questo tipo.
"GundamRX91":Bisognerebbe parlare di meno e formalizzare di più.
b) $g o f$ suriettiva implica che $AAc in C$ $EEa in A$ tale che $g(f(a)) = c$ e $c in Im(g o f)$ e infine $Im(g o f) = C$, ma se la controimmagine di $g o f$ e' diversa dall'insieme nullo (cioe' contiene almeno un elemento), affinche' $g$ sia suriettiva anche la sua controimmagine $g^-1$ deve essere diversa dall'insieme nullo, infatti $g^-1=f(a) in Imf$, quindi anche $g$ e' suriettiva.
Date [tex]f: A \to B[/tex], [tex]g: B \to C[/tex], la cosa da dimostrare è la seguente: "se [tex]g \circ f[/tex] è suriettiva allora [tex]g[/tex] è suriettiva".
1) Supponi che [tex]g \circ f[/tex] sia suriettiva. Devi mostrare che [tex]g[/tex] è suriettiva.
2) Prendi quindi [tex]c \in C[/tex] e vuoi trovare [tex]b \in B[/tex] tale che [tex]g(b)=c[/tex].
3) Per ipotesi [tex]g \circ f[/tex] è suriettiva, quindi esiste [tex]a \in A[/tex] tale che [tex]g(f(a))=c[/tex].
4) Quindi basta scegliere [tex]b := f(a)[/tex].
Prova a riscrivere anche le altre seguendo un procedimento di questo tipo.
provo con l'esecizio c) se $g o f$ e' iniettiva e $f$ e' suriettiva, allora $g$ e' iniettiva.
Siano $b_1,b_2 in B$ tali che $g(b_1)=c_1$ e $g(b_2)=c_2$; per ipotesi $g o f$ e' iniettiva, quindi $g(f(a_1))=g(f(a_2)) => a_1=a_2$, e $f$ e' suriettiva, quindi $AAb in B$ $EEa in A : b=f(a)$.
Allora:
$g(f(a_1))=g(b_1)=g(b_2)=g(f(a_2))$ ma essendo $a_1=a_2$ ne consegue che anche $b_1=b_2$, quindi $g$ e' iniettiva.
Siano $b_1,b_2 in B$ tali che $g(b_1)=c_1$ e $g(b_2)=c_2$; per ipotesi $g o f$ e' iniettiva, quindi $g(f(a_1))=g(f(a_2)) => a_1=a_2$, e $f$ e' suriettiva, quindi $AAb in B$ $EEa in A : b=f(a)$.
Allora:
$g(f(a_1))=g(b_1)=g(b_2)=g(f(a_2))$ ma essendo $a_1=a_2$ ne consegue che anche $b_1=b_2$, quindi $g$ e' iniettiva.
No, non va bene, non si capisce.
Per mostrare che [tex]g[/tex] e' iniettiva devi innanzitutto prendere [tex]b_1, b_2[/tex] tali che [tex]g(b_1) = g(b_2)[/tex].
Vuoi mostrare che [tex]b_1=b_2[/tex].
In questo punto esatto devi usare la suriettivita' di [tex]f[/tex].
Prosegui tu. Prova a seguire il procedimento che ti ho indicato coi quattro punti.
Per mostrare che [tex]g[/tex] e' iniettiva devi innanzitutto prendere [tex]b_1, b_2[/tex] tali che [tex]g(b_1) = g(b_2)[/tex].
Vuoi mostrare che [tex]b_1=b_2[/tex].
In questo punto esatto devi usare la suriettivita' di [tex]f[/tex].
Prosegui tu. Prova a seguire il procedimento che ti ho indicato coi quattro punti.
Intanto grazie per l'aiuto.
Allora provo a seguire proprio lo schema:
1) Supposto che $g o f$ e' iniettiva e $f$ e' suriettiva, dimostrare che $g$ e' iniettiva.
2) Siano $b_1,b_2 in B$ tali che $g(b_1)=g(b_2)$
3) Per ipotesi $f$ e' suriettiva, quindi $AAb in B$ , $EEa in A$ : $b=f(a)$ da cui $b_1=f(a_1)$ e $b_2=f(a_2)$
4) Supposto $g o f$ iniettiva allora si ha che $g(f(a_1))=g(f(a_2))$ , $g(b_1)=g(b_2)$ da cui la tesi $b_1=b_2$
Allora provo a seguire proprio lo schema:
1) Supposto che $g o f$ e' iniettiva e $f$ e' suriettiva, dimostrare che $g$ e' iniettiva.
2) Siano $b_1,b_2 in B$ tali che $g(b_1)=g(b_2)$
3) Per ipotesi $f$ e' suriettiva, quindi $AAb in B$ , $EEa in A$ : $b=f(a)$ da cui $b_1=f(a_1)$ e $b_2=f(a_2)$
4) Supposto $g o f$ iniettiva allora si ha che $g(f(a_1))=g(f(a_2))$ , $g(b_1)=g(b_2)$ da cui la tesi $b_1=b_2$
"GundamRX91":Non serve che ricordi ogni volta cosa vuol dire "funzione suriettiva" (cf. punto 3). Ti riscrivo meglio gli ultimi due:
Intanto grazie per l'aiuto.
Allora provo a seguire proprio lo schema:
1) Supposto che $g o f$ e' iniettiva e $f$ e' suriettiva, dimostrare che $g$ e' iniettiva.
2) Siano $b_1,b_2 in B$ tali che $g(b_1)=g(b_2)$
3) Per ipotesi $f$ e' suriettiva, quindi $AAb in B$ , $EEa in A$ : $b=f(a)$ da cui $b_1=f(a_1)$ e $b_2=f(a_2)$
4) Supposto $g o f$ iniettiva allora si ha che $g(f(a_1))=g(f(a_2))$ , $g(b_1)=g(b_2)$ da cui la tesi $b_1=b_2$
3) Dato che [tex]f[/tex] e' suriettiva, esistono [tex]a_1,a_2 \in A[/tex] tali che [tex]f(a_1)=b_1[/tex] e [tex]f(a_2)=b_2[/tex].
4) Segue che [tex]g(f(a_1)) = g(b_1) = g(b_2) = g(f(a_2))[/tex], quindi [tex]g(f(a_1)) = g(f(a_2))[/tex], da cui [tex]a_1=a_2[/tex] per l'iniettivita' di [tex]g \circ f[/tex], in particolare [tex]b_1 = f(a_1) = f(a_2) = b_2[/tex], da cui [tex]b_1=b_2[/tex].
Prova a fare anche il quarto seguendo questo procedimento.
Pensavo che nelle dimostrazioni bisognasse "ricordarsi" sempre delle definizioni, mentre mi sembra di capire che non sia
necessario..,
Provo con la quarta verifica:
1) supposto $g \circ f$ suriettiva e $g$ iniettiva, bisogna dimostra che $f$ e' suriettiva
2) sia $b in B$ e $g(b)=c$
3) per ipotesi $g \circ f$ e' suriettiva, quindi $EEa in A$ tale che $g(f(a))=c$
4) siccome $g$ e' iniettiva, allora $g(f(a))=c=g(b)$ per cui $f(a)=b$ da cui $f$ e' suriettiva
necessario..,
Provo con la quarta verifica:
1) supposto $g \circ f$ suriettiva e $g$ iniettiva, bisogna dimostra che $f$ e' suriettiva
2) sia $b in B$ e $g(b)=c$
3) per ipotesi $g \circ f$ e' suriettiva, quindi $EEa in A$ tale che $g(f(a))=c$
4) siccome $g$ e' iniettiva, allora $g(f(a))=c=g(b)$ per cui $f(a)=b$ da cui $f$ e' suriettiva
Sì, così va bene. 
Grazie Martino per la pazienza 
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