Commutatori

[melli13]

Verificare che il gruppo diedrale $D_4=G$ ha la proprietà che il suo sottogruppo dei commutatori $G'$ è contenuto nel centro $Z(G)$ di G.

Allora $Z(G)={1,r^2}$
Ma il gruppo dei commutatori come faccio a trovarlo?
Credo che dovrebbe essere $G'={1,r^2}$ perchè il centro contiene come sottogruppi solo $H_1={1}$ e $H_2={1,r^2}$. Ma se $G'$ fosse uguale a H allora G sarebbe commutativo, ma ciò non è vero. Quindi ne deduco che $G'=H_2={1,r^2}$. Però così diciamo che dalla tesi ho ricavato il risultato...come faccio senza fare la furba a trovare i commutatori di $D_4$?E in generale?
Grazie mille....!!

[apatriarca]

Ma qual'è la definizione di commutatore di \(G\)? Prova a partire da quella..

[melli13]

Il sottogruppo dei commutatori è il sottogruppo generato dai commutatori, cioè $[x,y]=xyx^(-1)y^(-1)$. Quindi $[G,G]=$. Ma non so proprio come fare poi...

[apatriarca]

E quindi come è fatto questo gruppo? \( D_4 \) non ha poi molto elementi..

[vict85]

"melli13":Il sottogruppo dei commutatori è il sottogruppo generato dai commutatori, cioè $[x,y]=xyx^(-1)y^(-1)$. Quindi $[G,G]=$. Ma non so proprio come fare poi...

Significa che devi trovare gli elementi e trovare il sottogruppo generato da quegli elementi.

Senza dubbio \(\displaystyle [r^n,r^m] = r^nr^mr^{-n}r^{-m} = 1_{D_4} \).

Ricordando le relazioni \(\displaystyle sr^n = r^{-n}s \).

\(\displaystyle [sr^m,sr^n] = sr^msr^nr^{-m}sr^{-n}s = sr^mr^{-n}ssr^{m}r^{-n}s = sr^{m-n}r^{m-n}s = r^{2(n-m)}\) che è uguale a \(\displaystyle r^2 \) se \(\displaystyle n-m = \pm 1 \) o \(\displaystyle n-m = \pm 3 \) e \(\displaystyle 1_{D_4} \) negli altri casi.

Siccome il caso prima comprendeva anche i casi \(\displaystyle m=n=0 \) manca solamente quello di una riflessione con una rotazione.
\(\displaystyle
[sr^m, r^n] = sr^mr^nr^{-m}sr^{-n} = r^{-2n}\)
\(\displaystyle
[r^m, sr^n] = r^msr^nr^{-m}r^{-n}s = r^{2m}\)

Quindi cosa ne deduci?

P.S: non escludo qualche errore di calcolo.

[melli13]

Scusami se ti rispondo solo ora, ma solo oggi ho trovato un po' di tempo per rifletterci su...!
Ho ricontrollato tutto, non hai commesso nessun errore di calcolo..
Ne ho dedotto quindi che in tutti i casi possibili che abbiamo analizzato si può ottenere solo $1_(D_4)$ oppure $r^2$. Quindi:
$[D_4,D_4]={1,r^2}$ ed è quindi contenuto nel centro (che è uguale!)
Grazie mille @Vict85 mi hai fatto capire questa cosa su cui sono stata ferma per un po' di tempo...

Ho provato a trovare anche il sottogruppo dei commutatori del gruppo dei quaternioni.
$Q={1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}$
$[1,i]=1$
$[-1,i]=1$
$[i,j]=-1$
$[-i,j]=-1$
$[i,-j]=-1$
$[-i,-j]=-1$
Gli altri casi saranno uguali, quindi senza che li provo. Ne deduco che:
$[Q,Q]={1,-1}
Giusto..?? Grazie grazie grazie.....

[Studente Anonimo]

Osservo solo che se [tex]G[/tex] è un gruppo di ordine [tex]p^3[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo allora automaticamente [tex]G' \subseteq Z(G)[/tex] (in altre parole, [tex]G[/tex] ha classe di nilpotenza al massimo [tex]2[/tex]). Infatti essendo [tex]G[/tex] un [tex]p[/tex]-gruppo, [tex]Z(G)[/tex] è notoriamente non banale, quindi [tex]G/Z(G)[/tex] è notoriamente abeliano (il suo ordine dividendo [tex]p^2[/tex]), in altre parole [tex]G' \subseteq Z(G)[/tex] (perché [tex]G'[/tex] è contenuto in tutti i sottogruppi normali [tex]N[/tex] di [tex]G[/tex] tali che [tex]G/N[/tex] è abeliano - questo fatto segue facilmente dalla definizione). In realtà osservando che notoriamente il centro di un gruppo non può avere indice primo, si conclude che se [tex]G[/tex] non è abeliano allora [tex]G'=Z(G)[/tex].

[melli13]

Cos'è la classe di nilipotenza?
Si che bella generalizzazione....! Come sempre....complimenti @Martino

[Studente Anonimo]

"melli13":Cos'è la classe di nilipotenza?

Vedi qui, nilpotency class.

Definiti [tex]Z_0=\{1\}[/tex] e [tex]Z_{i+1}/Z_i = Z(G/Z_i)[/tex], la classe di nilpotenza (di un gruppo nilpotente) è il minimo [tex]n[/tex] tale che [tex]Z_0 < Z_1 < ... < Z_n = G[/tex]. Un gruppo si dice nilpotente appunto quando esiste un tale [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].

[melli13]

Grazie...!ora l'abbiamo visto anche a lezione...