Commutatività di un anello

[mistake89]

Sia $R$ un anello nel quale $x^3=x$ $AA x in R$. Provare che $R$ è commutativo.

Dannato Herstein ci sto appresso da un sacco di tempo e non mi viene nulla in mente

Ho provato a calcolare $(a+a)^3=a+a$ e ne ricavo, sfruttando la relazione che ogni elemento coincide con il proprio inverso.
Ho provato a calcolare $(a+b)^3=a+b$ ma arrivo ad un punto morto, cioè $a^2b+aba+ab^2+ba^2+bab+b^2a=0$ ma non so se possa tornarmi utile per dimostrare la commutatività.

Qualcuno che mi suggerisce un'idea?
Grazie mille!

[Studente Anonimo]

"klarence":Nelle ipotesi che l'anello $A$ sia regolare la dimostrazione è giusta?

Se per "regolare" intendi che "si può semplificare gli elementi diversi da zero" direi che in questo caso viene tutto banalizzato, perché da $a^3=a$ se $a ne 0$ segue $a^2=1$ e da qui è facile concludere. Il problema è che in generale ci sono un sacco di divisori di zero.

[vict85]

"mistake89":forse non devo dar per scontato che $3$ sia invertibile?

Più che altro che la caratteristica del campo sia diversa da 3. 3 è un intero, in realtà è solo una notazione alternativa a $aaa = - aaa$. Non è invertibile. Dovresti più che altro chiederti se $a$ lo è...

[mistake89]

Vi ringrazio tutti per gli spunti. Proverò a pensarci ancora un pò in giornata!

[klarence1]

"Martino": $a^2=1$ e da qui è facile concludere. Il problema è che in generale ci sono un sacco di divisori di zero.

Eh ma questa osservazione si può fare solo se $A$ è anche unitario . O sbaglio?

[Studente Anonimo]

"klarence":[quote="Martino"] $a^2=1$ e da qui è facile concludere. Il problema è che in generale ci sono un sacco di divisori di zero.

Eh ma questa osservazione si può fare solo se $A$ è anche unitario . O sbaglio?[/quote]Sì, è che io pensavo che tu per anello "regolare" intendessi un anello unitario tale che (ecc).

[j18eos]

Tornando al mio notare che ogni ideale di un siffatto anello abbia tutti i quadrati degli elementi di questo, l'intersezione degl'ideali contiene i quadrati degli elementi quindi l'ideale minimale di tale anello è bilatero ed è generato dai quadrati degl'elementi di tale anello.

Ora possiamo affermare qualche tesi su tale ideale minimale ed il centro di tale anello?

[Studente Anonimo]

Lo scrivo perché è folle.

Sia [tex]A[/tex] un anello (non necessariamente unitario).
Supponiamo che [tex]x^3=x[/tex] per ogni [tex]x \in A[/tex].
Mostriamo che [tex]A[/tex] è commutativo.

Prendiamo [tex]a,b \in A[/tex]. Dobbiamo mostrare che [tex]ab = ba[/tex].

Da [tex](2a)^3=2a[/tex] segue [tex]8a^3=2a[/tex] e quindi, essendo [tex]a^3=a[/tex],

(1) [tex]3a = -3a[/tex].

Ora da [tex]a+a^2 = (a+a^2)^3[/tex] segue [tex]3a^2+3a=0[/tex], da cui, ricordando (1), otteniamo

(2) [tex]3a^2 = 3a[/tex].

Ma allora [tex]3(a+b) = 3(a+b)^2 = 3a^2 + 3b^2 + 3ab + 3ba[/tex], e da (2) otteniamo [tex]3ab+3ba=0[/tex], da cui per (1) abbiamo

(3) [tex]3ab=3ba[/tex].

Ora, [tex]a+b = (a+b)^3[/tex] e [tex]a-b = (a-b)^3[/tex] si riscrivono dopo un po' di conti in questo modo:

[tex]a^2b + aba + ab^2 + ba^2 + bab + b^2a = 0[/tex],
[tex]-a^2b - aba + ab^2 - ba^2 + bab + b^2a = 0[/tex].

Sommando queste due uguaglianze otteniamo

(4) [tex]2ab^2+2bab+2b^2a = 0[/tex].

Moltiplicando (4) a destra/sinistra per [tex]b[/tex] otteniamo le due uguaglianze

[tex]2ab + 2bab^2 + 2b^2ab = 0[/tex],
[tex]2bab^2 + 2b^2ab + 2ba = 0[/tex].

Sottraendole otteniamo

(5) [tex]2ab=2ba[/tex].

Da (3)+(5) otteniamo allora la conclusione che [tex]ab=ba[/tex].

[perplesso1]

Se non sbaglio (come puntualmente succede ) si può dimostrare anche in un altro modo

Fatto: Ogni elemento idempotente di $A$ è centrale. In partcolare ogni quadrato.
Sia $e$ un elemento idempotente. Allora per ogni $y \in A$ risulta

$(ey - eye)^2 = (ey)^2 + (eye)^2 - (ey)(eye)$ $- (eye)(ey) = (ey)^2 + (ey)^2 e -(ey)^2 e - (ey)^2 = 0$

e similmente $(ye-eye)^2 = 0$. Ma allora

$ey - eye = (ey - eye)^3 = 0 = (ye-eye)^3 = ye -eye$

da cui $ey = ye$. infine si nota che per ogni $x \in A$ risulta $(x^2)^2 = x^4 = x x^3 = x^2$ cioè $x^2$ è idempotente e quindi centrale.

Proviamo che A è commutativo.
Proof: $x^4+ 2x^3 + x^2 = (x^2+x)^2 \in Z(A)$ e poiche $x^4$ e $x^2$ sono centrali anche $2x^3 = 2x \in Z(A)$. Inoltre

$x^2 +x = (x^2 +x)^3 = x^6 +3x^5 +3x^4+x^3 = x^2 +3x +3x^2+x$

da cui cancellando $3x+3x^2 = 0 \in Z(A)$ ma siccome $3x^2 \in Z(A)$ allora anche $3x \in Z(A)$. Si conclude $x = 3x-2x \in Z(A)$.

[Studente Anonimo]

@perplesso: il tuo approccio è molto più utile del mio! Tra l'altro tu dimostri che se [tex]a^n=a[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex] allora [tex]a^{n-1}[/tex] è idempotente e centrale per ogni [tex]a \in A[/tex]. Mi sono domandato se il fatto è vero per un fissato [tex]n \geq 2[/tex] al posto di [tex]3[/tex], e in effetti è vero perfino non uniformemente rispetto a [tex]a[/tex], per un teorema di Jacobson.

[perplesso1]

A dirla tutta il teorema funziona anche se la condizione $x^n = x$ sussiste solo per i commutatori, vedi http://cms.math.ca/cjm/v9/cjm1957v09.0583-0586.pdf. Io ho incontrato questo teorema in un contesto diverso dall' algebra commutativa. Stavo leggendo A course in universal algebra di Burris & Sankappanavar, si parlava di "logica equazionale", a un certo punto il testo voleva mettere in evidenza la differenza tra derivabilità e soddisfacibilità (esistenza di un modello) per una certa ugualianza e fa questo esempio

A famous theorem of Jacobson in ring theory says that if we are given $n ≥ 2$, if $Σ$
is the set of ring axioms plus $x^n ≈ x$, then $Σ |= x · y ≈ y · x$. However there is no known
routine way of writing out a formal deduction, given $n$, of $x · y ≈ y · x$.

la frase in grassetto mi ha incuriosito. Sta dicendo praticamente che non sappiamo in generale per ogni $n$ in che modo sia possibile provare la commutatività semplicemente "facendo conti" come hai fatto tu Martino nel caso $n= 3$. Non so se nel frattempo qualcuno ha trovato questa "routine way" (è possibile perchè il testo se non sbaglio è del 1980).

[Studente Anonimo]

Credo che la questione si possa dipanare partendo da qui, la risposta di Bill Dubuque. Dice:

"Birkhoff's completeness theorem implies that such a proof must exist in the first-order equational theory of rings".