Commutatività di un anello
Sia $R$ un anello nel quale $x^3=x$ $AA x in R$. Provare che $R$ è commutativo.
Dannato Herstein ci sto appresso da un sacco di tempo e non mi viene nulla in mente
Ho provato a calcolare $(a+a)^3=a+a$ e ne ricavo, sfruttando la relazione che ogni elemento coincide con il proprio inverso.
Ho provato a calcolare $(a+b)^3=a+b$ ma arrivo ad un punto morto, cioè $a^2b+aba+ab^2+ba^2+bab+b^2a=0$ ma non so se possa tornarmi utile per dimostrare la commutatività.
Qualcuno che mi suggerisce un'idea?
Grazie mille!
Dannato Herstein ci sto appresso da un sacco di tempo e non mi viene nulla in mente
Ho provato a calcolare $(a+a)^3=a+a$ e ne ricavo, sfruttando la relazione che ogni elemento coincide con il proprio inverso.
Ho provato a calcolare $(a+b)^3=a+b$ ma arrivo ad un punto morto, cioè $a^2b+aba+ab^2+ba^2+bab+b^2a=0$ ma non so se possa tornarmi utile per dimostrare la commutatività.
Qualcuno che mi suggerisce un'idea?
Grazie mille!
Risposte
Forse la relazione $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2+b^2-ab)$ può tornarmi utile...
"mistake89":
Sia $R$ un anello nel quale $x^3=x$ $AA x in R$. Provare che $R$ è commutativo.
Ho provato a calcolare $(a+a)^3=a+a$ e ne ricavo, sfruttando la relazione che ogni elemento coincide con il proprio inverso.
Grazie mille!
Forse hai fatto qualche passaggio non lecito, siamo in un anello e non è detto che ogni elemento sia invertibile (a meno che tu non abbia dimostrato che ogni elemento è invertibile... ma a quel punto l'anello sarebbe unitario, penso che lo avrebbe detto già la traccia).
Scusami volevo dire opposto, nel senso che ricavo che $a=-a$
Non capisco come da [tex](a+a)^3=a+a[/tex] sei giunto alla conclusione che [tex]a=-a[/tex]. Per esempio se l'anello è [tex]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/tex] si ha evidentemente [tex]a^3=a[/tex] per ogni [tex]a[/tex] ma [tex]a \neq -a[/tex].
Se il tuo anello fosse unitario potresti scrivere [tex](a+1)^3 = a+1[/tex] ed ottenere dei risultati.
Se il tuo anello fosse unitario potresti scrivere [tex](a+1)^3 = a+1[/tex] ed ottenere dei risultati.
se sviluppo $(a+a)^3=a+a$ ottengo $a^3+3a^3+3a^3+a^3=a+a$ sfruttando la relazione cui sopra ottengo $3a+3a=0$ da cui $3a=-3a$ a questo punto ho concluso $a=-a$, forse non devo dar per scontato che $3$ sia invertibile?
"mistake89":Eh, forse
forse non devo dar per scontato che $3$ sia invertibile?
Ma essendo ogni elemento eguale al suo opposto in tale anello sarebbe [tex]\forall a\in R,\,2a=0[/tex]!
Da cui evinco: [tex]3a=a=a^3[/tex] (senza cambiare i nomi)! Correggetemi se sbagliassi.
EDIT: Ammesse vere le premesse ma mi pare che non lo siano
Da cui evinco: [tex]3a=a=a^3[/tex] (senza cambiare i nomi)! Correggetemi se sbagliassi.
EDIT: Ammesse vere le premesse ma mi pare che non lo siano
Aspettate mi sto perdendo
Ma il fatto che ogni elemento è uguale al suo apposto è vero o falso? Mi pare di aver capito che è una cosa falsa.
Qualunque sia la risposta cui sopra comunque, a me altre idee in proposito non sono venute!
Ma il fatto che ogni elemento è uguale al suo apposto è vero o falso? Mi pare di aver capito che è una cosa falsa.
Qualunque sia la risposta cui sopra comunque, a me altre idee in proposito non sono venute!
"mistake89":Hai capito bene, è una cosa falsa: non è detto che 3 sia invertibile.
Ma il fatto che ogni elemento è uguale al suo apposto è vero o falso? Mi pare di aver capito che è una cosa falsa.
L'anello R di cui parli si suppone che sia unitario?
In tal caso prova ad esaminare le conseguenze di [tex](a+1)^3=a+1[/tex].
No Martino, non ne è detto esplicitamente nelle ipotesi (quindi ritengo non sia necessario ai fini della dimostrazione!)
mistake89 
ma per caso Herstein non dice a pagina 140 che [tex]x^2=x[/tex]????? In breve considera un anello booleano od ad elementi idempotenti per usare dei paroloni e dimostrare che sia commutativo 
ma per caso Herstein non dice a pagina 140 che [tex]x^2=x[/tex]????? In breve considera un anello booleano od ad elementi idempotenti per usare dei paroloni e dimostrare che sia commutativo
Sì è vero, ma il mio esercizio è a pagina 147.
Hai provato a controllare? Alcuni testi quando parlano di anelli intendono sempre anelli unitari.
Se l'anello non è unitario la sola relazione interessante che si riesce a trovare è appunto [tex]6a=0[/tex]. Forse c'è un modo per risolvere ma al momento non lo vedo.
Se l'anello non è unitario la sola relazione interessante che si riesce a trovare è appunto [tex]6a=0[/tex]. Forse c'è un modo per risolvere ma al momento non lo vedo.
Premessa: ho scritto e cancellato 5 volte perchè ogni volta avevo scritto una cazzata. Vediamo ora.
$(x^3*y^3)=x*y -> (x^3*y^2)*y=x*y -> (x*y^2)*y=x*y -> x*y^2=x $
Ora $(x*y)^3=(x*y*x*y*x)*y=x*y -> (x*y*x*y)*x=x=x^3=x^2*x -> (x*y*x*y)*x=x^2*x -> x*(y*x*y)=x^2=x*x -> x=y*x*y$
Visti i due passaggi $x*y^2=y*x*y -> (x*y)*y=(y*x)*y -> x*y=y*x$ per l'arbitrarietà di $x$ e $y$ vale la tesi.
$(x^3*y^3)=x*y -> (x^3*y^2)*y=x*y -> (x*y^2)*y=x*y -> x*y^2=x $
Ora $(x*y)^3=(x*y*x*y*x)*y=x*y -> (x*y*x*y)*x=x=x^3=x^2*x -> (x*y*x*y)*x=x^2*x -> x*(y*x*y)=x^2=x*x -> x=y*x*y$
Visti i due passaggi $x*y^2=y*x*y -> (x*y)*y=(y*x)*y -> x*y=y*x$ per l'arbitrarietà di $x$ e $y$ vale la tesi.
Grazie Klarence, ora me la guardo per bene e ti dico!
@Martino In altri esercizi dice esplicitamente che $1$ vi appartiene quindi mi par di capire che proprio non serve
@Martino In altri esercizi dice esplicitamente che $1$ vi appartiene quindi mi par di capire che proprio non serve
"klarence":In base a cosa "semplifichi" la y?
$(x*y^2)*y=x*y -> x*y^2=x$
"Martino":In base a cosa "semplifichi" la y?[/quote]
[quote="klarence"]$(x*y^2)*y=x*y -> x*y^2=x$
In un anello se $A*y=B*y$ e $y!=0$ allora $A=B$ ... nel nostro caso presupponiamo $x$ e $y$ diversi da zero (se $x=0$ o $y=0$ la commutatività è banale perchè $xy=yx=0$)
Io ho notato 2 cose sull'Herstein:
I) l'esercizio è posto dopo lo studio degl'ideali di un anello;
II) [tex]\forall a;b\in R,\,a^2\in(b)_r\cap(b)_l[/tex] con [tex](\cdot)[/tex] ideale destro (right) o sinistro (left) generato da [tex]"\cdot"[/tex]. Infatti: [tex]a^2(ab)=a^3b=ab\in(b)_l[/tex]; analogamente a destra!
klarence il semigruppo moltiplicativo di un anello non è sempre regolare, il contro esempio è [tex](\mathbb{Z}_6,+,\cdot)[/tex] con [tex][2]_6=[1]_6\cdot[2]_6=[4]_6\cdot[2]_6=[8]_6[/tex].
I) l'esercizio è posto dopo lo studio degl'ideali di un anello;
II) [tex]\forall a;b\in R,\,a^2\in(b)_r\cap(b)_l[/tex] con [tex](\cdot)[/tex] ideale destro (right) o sinistro (left) generato da [tex]"\cdot"[/tex]. Infatti: [tex]a^2(ab)=a^3b=ab\in(b)_l[/tex]; analogamente a destra!
klarence il semigruppo moltiplicativo di un anello non è sempre regolare, il contro esempio è [tex](\mathbb{Z}_6,+,\cdot)[/tex] con [tex][2]_6=[1]_6\cdot[2]_6=[4]_6\cdot[2]_6=[8]_6[/tex].
"klarence":Non direi proprio. Vedi quanto ti ha scritto j18eos.
In un anello se $A*y=B*y$ e $y!=0$ allora $A=B$
"Martino":Non direi proprio. Vedi quanto ti ha scritto j18eos.[/quote]
[quote="klarence"]In un anello se $A*y=B*y$ e $y!=0$ allora $A=B$
Si ok... avevo cercato di 'riciclare' l'idea di un esercizio di geometria... dove però nemmeno si operava con gli anelli.
Nelle ipotesi che l'anello $A$ sia regolare la dimostrazione è giusta?
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