Commutatività
Un paio di giorni fa sono capitato in un topic nel quale si discuteva della proprietà commutativa su $n \in \mathbb{N}$ addendi.
Per la precisione il topic è questo: https://www.matematicamente.it/forum/la- ... 26161.html
Alla mia domanda "Come si dimostra?" l'amico gugo82 mi ha suggerito "Per induzione".
E' da ieri pomeriggio che ci provo ma non riesco a dimostrare niente.
O meglio, non riesco a completare la dimostrazione del passo induttivo.
Passo base La proprietà commutativa è vera per $n=2$ addendi: si può dimostrare vedendo come è definita la somma per due addendi oppure prenderlo per buono come assioma.
Passo induttivo Assumo che la proprietà sia vera per tutti i $k
Qualcuno ha qualche idea?
Grazie.
Per la precisione il topic è questo: https://www.matematicamente.it/forum/la- ... 26161.html
Alla mia domanda "Come si dimostra?" l'amico gugo82 mi ha suggerito "Per induzione".
E' da ieri pomeriggio che ci provo ma non riesco a dimostrare niente.
O meglio, non riesco a completare la dimostrazione del passo induttivo.
Passo base La proprietà commutativa è vera per $n=2$ addendi: si può dimostrare vedendo come è definita la somma per due addendi oppure prenderlo per buono come assioma.
Passo induttivo Assumo che la proprietà sia vera per tutti i $k
Qualcuno ha qualche idea?
Grazie.
Risposte
"gugo82":
La proprietà commutativa, premesso che valga quella associativa, vale per un qualsiasi numero $n in NN$ di addendi, nel senso che comunque si scelgano $a_1,\ldots ,a_n in RR$ e comunque si scelga una funzione biiettiva $sigma:{1,\ldots, n} to{1,\ldots, n}$ (un'applicazione del genere è detta permutazione degli indici $1,\ldots,n$) allora risulta:
$a_1+\ldots +a_n=\a_(sigma(1))+\ldots +a_(sigma(n)) quad$.
come hai detto te Wizard
passo base n=2 ok
passo induttivo : mettiamo che la proprietà sia vera per un cerco $k
dove con $sigma_k$ indico le permutazioni avvenute come da testo di gugo
quindi sia $a_(k+1)\in\RR_0$ allora otteniamo che $sum_(i=1)^(k)a_i+a_(k+1)=sum_(j=1)^ka_(sigma_j)+a_(k+1)$, per ipotesi allora vale la proprietà associativa, quindi possiamo definire $sum_(i=1)^(k)a_i=a_1+a_2+...+a_l+a_(l+1)+...+a_k=a_1+a_2+...+(a_l+a_(l+1))_f+...+a_k
(essendo che vale la prorpietà associativa nulla vieta di indiczzare due elemneti come uno, in nome dell'associatività)
quindi la nostra sommatoria diventa $sum_(i=1)^(k-1)a_i$ e il membro di destra diviene $sum_(j=1)^(k-1)a_(sigma_j)
otteniamo quindi
$sum_(i=1)^(k-1)a_i=sum_(j=1)^(k-1)a_(sigma_j)=>
$sum_(i=1)^(k-1)a_i+a_(k+1)=sum_(j=1)^(k-1)a_(sigma_j)+a_(k+1)
quindi a sinistra e a destra abbiamo di nuovo k elementi e a destra di nuovo k elemneti, facendo ancora due passaggi ovvi si conclude bene per dire che per l'ipotesi di induzione possiamo concludere la dimostrazione.
ora non mi azzardo a mettere la magica sgla perchè nn è una vera bella dimostrazione, ma solo un accenno per Wizard ... spero ti possa dare qualche spunto..
ciaoo
...
Thanks. Molto utile. Ci lavorerò anche se credo che come dimostrazione vada già bene.
Ovviamente se qualcuno ha da proporre considerazioni o diversi modi di usare l'ipotesi induttiva è bene accetto.
Buona domenica.
Ovviamente se qualcuno ha da proporre considerazioni o diversi modi di usare l'ipotesi induttiva è bene accetto.
Buona domenica.
Salve Wizard, i tuoi messaggi sono come sempre molto interessanti 
L'idea intuitiva di quello che voglio fare è la seguente: se la proprietà vale per n=2, e ho una certa somma del tipo $a_{\sigma(1)}+...+a_{\sigma(n)}$ dove $sigma$ è una permutazione di {1,...,n}, allora posso prendere $a_n$ dentro la somma e scambiarlo col successivo (dato che ho la proprietà commutativa per due addendi), poi scambiarlo con quello dopo, e così via fino a portare $a_n$ in ultima posizione. Poi prendo $a_{n-1}$ e faccio lo stesso lavoro, e lo stesso con $a_{n-2}$, ecc. fino ad ottenere un riordinamento completo degli indici, cioè esattamente quello che voglio.
Ora formalizzerò ciò che ho appena detto:
sappiamo che la proprietà è vera quando n=2. Ora dato n>2, supponiamo la proprietà vera per n-1. Siano $a_1,...,a_n in RR$, e sia $sigma in S_n$ una permutazione di $\{1,...,n\}$. Vogliamo mostrare che
$\sum_{j=1}^n a_{\sigma(j)} = \sum_{j=1}^n a_j$
Sia k l'unico intero compreso tra 1 e n tale che $\sigma(k)=n$. Allora poiché la proprietà è vera per 2, abbiamo
$a_{\sigma(k)}+a_{sigma(k+1)}=a_{sigma(k+1)}+a_{\sigma(k)}$
$a_{sigma(k+1)}+a_{sigma(k+2)}=a_{sigma(k+2)}+a_{sigma(k+1)}$
...
Per la proprietà associativa, abbiamo allora che possiamo prendere $a_{\sigma(k)}$ e trascinarlo a destra senza alterare la somma. Quindi abbiamo
(*) $\sum_{j=1}^n a_{\sigma(j)} = \sum_{j=1}^{n-1} a_{\tau(j)}+a_n$
dove $tau$ è la permutazione di $\{1,...,n-1\}$ indotta da questo 'trascinamento'. Per esempio se $\sigma=(1\ 2\ 4\ 3)$ allora
$a_2+a_4+a_3+a_1=a_2+a_3+a_4+a_1=a_2+a_3+a_1+a_4$
e quindi $tau=(1\ 2\ 3) \in S_3$. In altre parole, $tau = (n\ sigma(n)) \sigma$.
Ma per l'ipotesi induttiva, $\sum_{j=1}^{n-1} a_{\tau(j)} = \sum_{j=1}^{n-1}a_j$, e quindi da (*) otteniamo
$\sum_{j=1}^n a_{\sigma(j)} = \sum_{j=1}^{n-1} a_{\tau(j)}+a_n = \sum_{j=1}^{n-1}a_j+a_n = \sum_{j=1}^n a_j$.
L'idea intuitiva di quello che voglio fare è la seguente: se la proprietà vale per n=2, e ho una certa somma del tipo $a_{\sigma(1)}+...+a_{\sigma(n)}$ dove $sigma$ è una permutazione di {1,...,n}, allora posso prendere $a_n$ dentro la somma e scambiarlo col successivo (dato che ho la proprietà commutativa per due addendi), poi scambiarlo con quello dopo, e così via fino a portare $a_n$ in ultima posizione. Poi prendo $a_{n-1}$ e faccio lo stesso lavoro, e lo stesso con $a_{n-2}$, ecc. fino ad ottenere un riordinamento completo degli indici, cioè esattamente quello che voglio.
Ora formalizzerò ciò che ho appena detto:
sappiamo che la proprietà è vera quando n=2. Ora dato n>2, supponiamo la proprietà vera per n-1. Siano $a_1,...,a_n in RR$, e sia $sigma in S_n$ una permutazione di $\{1,...,n\}$. Vogliamo mostrare che
$\sum_{j=1}^n a_{\sigma(j)} = \sum_{j=1}^n a_j$
Sia k l'unico intero compreso tra 1 e n tale che $\sigma(k)=n$. Allora poiché la proprietà è vera per 2, abbiamo
$a_{\sigma(k)}+a_{sigma(k+1)}=a_{sigma(k+1)}+a_{\sigma(k)}$
$a_{sigma(k+1)}+a_{sigma(k+2)}=a_{sigma(k+2)}+a_{sigma(k+1)}$
...
Per la proprietà associativa, abbiamo allora che possiamo prendere $a_{\sigma(k)}$ e trascinarlo a destra senza alterare la somma. Quindi abbiamo
(*) $\sum_{j=1}^n a_{\sigma(j)} = \sum_{j=1}^{n-1} a_{\tau(j)}+a_n$
dove $tau$ è la permutazione di $\{1,...,n-1\}$ indotta da questo 'trascinamento'. Per esempio se $\sigma=(1\ 2\ 4\ 3)$ allora
$a_2+a_4+a_3+a_1=a_2+a_3+a_4+a_1=a_2+a_3+a_1+a_4$
e quindi $tau=(1\ 2\ 3) \in S_3$. In altre parole, $tau = (n\ sigma(n)) \sigma$.
Ma per l'ipotesi induttiva, $\sum_{j=1}^{n-1} a_{\tau(j)} = \sum_{j=1}^{n-1}a_j$, e quindi da (*) otteniamo
$\sum_{j=1}^n a_{\sigma(j)} = \sum_{j=1}^{n-1} a_{\tau(j)}+a_n = \sum_{j=1}^{n-1}a_j+a_n = \sum_{j=1}^n a_j$.
Salve Martino.
Molto bella anche la tua dimostrazione. Proprio bella ed efficace.
Grazie mille a te e a fu^2.
Buon proseguimento di serata ad entrambi.
Molto bella anche la tua dimostrazione. Proprio bella ed efficace.
Grazie mille a te e a fu^2.
Buon proseguimento di serata ad entrambi.
alla prossima
buona giornata...
buona giornata...
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