Come si procede per i monoidi
Come dovrei procedere per verificare che A,B,C sono monoidi?
$A = ({0,1},*,1) $ dove $n*m = nm$
$B = ({0,1},*,1) $ dove $n*m = 1 -n -m +2nm$
$C = ({0,1},*,0) $ dove $n*m = n +m -nm$
ad esempio per A mi verrebbe da dire che è una restrizione dei numeri naturali pertanto è un monoide visto che
$(NN,*,1)$ è un monoide
Per B e C però non saprei come procedere :/ grazie
Inoltre:
verificare che la funzione $ n -> 1-n$ dall'insieme {0,1} in sè costituisce un omomorfismo di monoidi da A a C. Verificare inoltre che la stessa funzione costituisce un omomorfismo di monoidi da C ad A.
$A = ({0,1},*,1) $ dove $n*m = nm$
$B = ({0,1},*,1) $ dove $n*m = 1 -n -m +2nm$
$C = ({0,1},*,0) $ dove $n*m = n +m -nm$
ad esempio per A mi verrebbe da dire che è una restrizione dei numeri naturali pertanto è un monoide visto che
$(NN,*,1)$ è un monoide
Per B e C però non saprei come procedere :/ grazie
Inoltre:
verificare che la funzione $ n -> 1-n$ dall'insieme {0,1} in sè costituisce un omomorfismo di monoidi da A a C. Verificare inoltre che la stessa funzione costituisce un omomorfismo di monoidi da C ad A.
Risposte
Basta verificare gli assiomi.
"Vitalluni":
per A mi verrebbe da dire che è una restrizione dei numeri naturali pertanto è un monoide visto che
$(NN,*,1)$ è un monoide
Detta cosi' e' evidentemente una cosa falsa: l'insieme \(\{0,1,2\}\) e' un monoide rispetto al prodotto?
l'insieme ${0,1,2}$ non è un monoide, ma non è neanche una restrizione se per questo perchè: $2*2=4$ è già fuori dall'insieme ${0,1,2}$ (controesempio) e quindi non rispetta la definizione di restrizione.
Si, ma come verifico gli assiomi? Provo tutti i casi possibili? Non mi sembra il modo di procedere, e se il prof all'esame mette un insieme con 5 elementi che faccio verifico 25 casi?
Cioè immagino che vada dimostrato che A,B,C sono monoidi, quindi o verifico tutti i casi possibili O dimostro che verifica gli assiomi in qualche modo più furbo. Quale?
Si, ma come verifico gli assiomi? Provo tutti i casi possibili? Non mi sembra il modo di procedere, e se il prof all'esame mette un insieme con 5 elementi che faccio verifico 25 casi?
Cioè immagino che vada dimostrato che A,B,C sono monoidi, quindi o verifico tutti i casi possibili O dimostro che verifica gli assiomi in qualche modo più furbo. Quale?
e se il prof all'esame mette un insieme con 5 elementi che faccio verifico 25 casi?
E se mette l'insieme dei numeri reali VS la somma cosa fai, \(2^{\aleph_0}\) verifiche?
Finche' l'insieme ha pochi elementi il modo piu' sensato di procedere e' tentare di trovare un controesempio alla chiusura dell'operazione o al soddisfacimento di qualche assioma.
D'altra parte se io ti chiedessi se l'operazione \(\mathbb R\times \mathbb R\to \mathbb R\) definita da
\[
(x,y)\mapsto x\odot y = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{(x+y)^k}{k!}
\]
renda \(\mathbb R\) un monoide tu cosa mi risponderesti? Fare un numero infinito di verifiche potrebbe farti perdere le cose belle della vita, quindi devi trovare un metodo piu' astuto (per esempio ragionare per assurdo: \(\odot\) ha un elemento neutro?).
l'elemento neutro è 0, ma come lo dimostro? Non credo basti far vedere che l'espressione diventa
una sommatoria di membri del tipo $(x)^k$ visto che $y=0$. (o analogamente con x=0 trovo $(y)^k$)
che poi $(x+y)^k$ sia commutativa mi sembra evidente, ma come si dimostra che
$f(g(x,y))$ è sempre commutativa se $g(x,y)$ è commutativa?
per quando riguarda la parte sull'omomorfismo non ho proprio neanche capito i ltesto dell'esercizio (l'ho copiato uguale)
una sommatoria di membri del tipo $(x)^k$ visto che $y=0$. (o analogamente con x=0 trovo $(y)^k$)
che poi $(x+y)^k$ sia commutativa mi sembra evidente, ma come si dimostra che
$f(g(x,y))$ è sempre commutativa se $g(x,y)$ è commutativa?
per quando riguarda la parte sull'omomorfismo non ho proprio neanche capito i ltesto dell'esercizio (l'ho copiato uguale)
Eh no, mi sa di no: non c'e' un elemento neutro. Per quale motivo? 
Tornando al tuo problema e' davvero sufficiente verificare gli assiomi, e cercare un controesempio oppure semplicemente verificare tutti i casi. Se poi con un argomento sufficientemente astuto riesci a ridurre la discussione, ben venga.
Tornando al tuo problema e' davvero sufficiente verificare gli assiomi, e cercare un controesempio oppure semplicemente verificare tutti i casi. Se poi con un argomento sufficientemente astuto riesci a ridurre la discussione, ben venga.
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