Come si calcola la distribuzione dei pesi?

[raff5184]

ciao come si calcola la distribuzione dei pesi di un codice lineare?

Data la matrice $G$ generatrice del codice, le righe di tale matrice costituiscono una base di uno spazio vettoriale (il codice appunto). A questo punto devo trovare nello spazio vettoriale (finito) quanti vettori ci sono di peso 0, 1, 2... fino a $2^k$ (2 se $G$ è composta di zeri e uni).
Mica devo mettermi a scrivere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori della base?! L'unica cosa che so è che se la distanza minima del codice è $d$ allora ci saranno 0 vettori di peso 1, 0 di peso 2... fino a $d-1$

[Stickelberger]

Chiaramente, il calcolo della distribuzione dei pesi di un codice lineare
e' relativamente facile se la dimensione del codice e' piccola. Basta
un calcolo diretto dei pesi di tutti i vettori nel codice.
In questo caso il codice ha anche pochi pesi.

Le identita' di MacWilliams descrivono la distribuzione dei pesi di un codice
in termini di quella del codice duale. Quindi se la dimensione del codice duale
e' piccola, il calcolo puo' anche essere fattibile. Questo succede per esempio
per i codici di Hamming.

Per certi codici autoduali la distribuzione dei pesi ha una descrizione
in termini di certe forme modulari (Gleason).

In generale e' un problema difficile. Anche se ogni tanto qualche informazione
sul codice puo' aiutare. Per esempio, se il codice e' binario e se c'e' un parity
check bit, allora i pesi sono pari. Per certi codici binari autoduali i pesi sono
congrui a 0 modulo 4, .... (Hamming esteso, Golay).