Come provare che un ideale è massimale??

[simomath]

Salve!Ho bisogno del vostro aiuto!
Il mio problema sta proprio nel provare che un ideale I di un anello A è massimale. Purtroppo non riesco a uscirne da questo problema
Per esempio: dato l'anello A={m/3^k /m appartiene a Z e k appartiene ad N}, provare che
I={2r/3^k /r appartiene a Z e k appartiene ad N} è ideale massimale di A.

N.B. Scusate se non ho usato il programma per scrivere le formule, ma mi sono appena iscritta e devo ancora imparare ad usarlo

[Gi81]

E' questo l'esercizio?

Dato l'anello $ A={m/3^k : m in ZZ, k in NN}$, provare che $ I={(2r)/3^k : r in ZZ, k in NN}$ è ideale massimale di $A$.

Prima di tutto devi provare che $I$ è ideale di $A$. Qual è la definizione di ideale?

[simomath]

Un ideale I di un anello A è un sottogruppo additivo di R tale che: x-y sta in I e x*a (a*x) sta in I con x,y appartenenti ad I ed a appartenente ad A.
So anche la definizione di ideale massimale cioè che I è massimale se non c'è un ideale J che contiene I. Però non riesco ad applicare quello che so

[Gi81]

Prendi due elementi di $I$: il primo è $x= (2r)/3^k$ e il secondo è $y =(2s)/3^(h)$, con $r, s in ZZ$ e $k, h in NN$.
Supponiamo pure $k>=h$. Fai $x-y$. Cosa ottieni?

PS: per scrivere le formule con il codice MathML, trovi il link alla pagina di spiegazione nel riquadro rosa in alto.

[simomath]

Sì ho provato che è ideale infatti ottengo un elemento che appartiene ad I, sia quando faccio la differenza tra due valori di I sia quando faccio il prodotto tra un elemento di I e uno dell'anello A.
Il mio unico problema è provare che questo ideale è massimale

[Gi81]

Sia per assurdo $I$ non massimale. Allora esiste $J$ ideale proprio di $A$ tale che $I subset J$.
Sia dunque $z=m/3^k in J \setminus I$ (forse si legge male; intendo "J meno I", è l'insieme differenza), con $m in ZZ$ e $k in NN$.

Ora dovrai fare dei passaggi per arrivare a dimostrare che $J=A$. Da qui l'assurdo. Fin qui ci sei?
Ti chiedo: quell' $m$ potrà essere un numero pari?

[simomath]

Sìsì ci sono! No, m non può essere pari dato che ho preso z nell'insieme differenza J\I. Giusto??

[Gi81]

Esatto. Dunque $m= 2r+1$ con $r in ZZ$. Consideriamo $y= (2r)/3^k$ (il $k$ è lo stesso di prima).
Certamente $y in I subset J$, dunque $y in J$.

Dato che $J$ è un ideale, $z-y = 1/3^k in J$...

[simomath]

Ok, e quindi il fatto che $1/3^k$ $in$ $J$ cosa mi porta a dire??

[Gi81]

Dato che $3^k in I subset J$, anche $1/3^k * 3^k =1$ sta in $J$. Ora ci sei?

[simomath]

Sìsì certo!! Grazie mille, sei stato gentilissimo e soprattutto molto molto chiaro!!

[Gi81]

Devo chiederti scusa e farti un rimprovero.

Ti chiedo scusa perchè ho commesso un errore, nella fretta di concludere:

"Gi8":Dato che $3^k in I $...

Non è vero che $3^k in I$. In $I$ il numeratore è sempre un numero pari.

Il rimprovero: perchè non ti sei accorto dell'errore?

Comunque, si può arrivare lo stesso facilmente alla conclusione. Si tratta sempre di dimostrare che $1 in J$,
partendo dal risultato trovato (cioè $1/3^k in J$). Prova