Come posso risolvere questo sistema di congruenze

[banino84]

$\{ (9x -= 282 mod 600),(2x -=100 mod 104),(10x -= 85 mod 2205):}$

ho semplificato in questo modo (non so se ho fatto bene):

$\{ (x -= 49 mod 100),(x -=25 mod 26),(x -=229 mod 441):}$


Se ho fatto bene le semplificazioni ( se controllate e mi date conferma), come posso procedere?

[SaraSueEss]

Le tue semplificazioni mi sembrano esatte.
A questo punto bisogna:
$-$ verificare che congruenze con stesso modulo abbiano soluzioni uguali
$-$ applicare teorema cinese del resto per risolvere il sistema

$\{(x-=49 (100)),(x-=-1 (26)),(x-=229 (441)):}$

applicando il teorema cinese del resto abbiamo:

$\{(x-=49 (2^2*5^2)),(x-=-1 (2*13)),(x-=229 (3^2*7^2)):}$ $=>$ $\{(x-=1 (4)),(x-=-1 (25)),(x-=-1 (13)), (x-=229 (441)):}$ $=>$ $\{(x-=49 (100)),(x-=-1 (13)), (x-=229 (441)):}$

( è banale controllare che il sistema $\{(x-=1 (2^2)),(x-=1 (2)):}$ ha soluzione e che questa è $x-=1 (4)$ )

avendo tutti moduli coprimi fra loro possiamo risolvere il sistema

$\{(x-=49 (100)),(x-=-1 (13)), (x-=229 (441)):}$ $=>$ $\{(x-=649 (13*100)),(x-=229 (441)):}$

la soluzione sarà del tipo $x -= a mod m.c.m.(100*13, 441)$

[banino84]

Io ho pensato di applicare il metodo di sostituzione.
Partendo da qui:

$\{ (x -= 49 mod 100),(x -=25 mod 26),(x -=229 mod 441):}$

$x= 49 +100h $ con $h in Z $ quindi

$49+100h -= 25 mod 26$ => $h -= 5 mod 13$
Allora:
$h=5 + 7k$ con $k in Z$ Sostituisco alla h

$49+100(5+7k) = 549+700k $

Quindi $x = 549 + 700k$

Vado a sostituire x alla terza congruenza e ottengo

$549 +700k -=229 mod 441$ =>

$700k -= 121 mod 441$

Solo che adesso mi sono bloccato

[SaraSueEss]

In pratica stai risolvendo delle diofantee, che va bene, ma attenzione ai moduli.
Comunque finché i moduli sono gestibili si possono fare a occhio, molte volte conviene, è più veloce.

[banino84]

"SaraSue":In pratica stai risolvendo delle diofantee, che va bene, ma attenzione ai moduli

Cosa vuoi dire con attenzione ai moduli ? ho sbagliato qualcosa? ma poi come procedo?

[SaraSueEss]

Il tuo sistema è:

$\{(x-=49 (100)),(x-=-1 (26)),(x-=229 (441)):}$

questo significa che, per il teorema cinese del resto, la soluzione sarà del tipo:

$x -= a mod m.c.m. (100, 26, 441)$



( $m.c.m. (100, 26, 441)$ $=$ $m.c.m. (100*13, 441)$ )

[banino84]

"SaraSue":Il tuo sistema è:

$\{(x-=49 (100)),(x-=-1 (26)),(x-=229 (441)):}$

questo significa che, per il teorema cinese del resto, la soluzione sarà del tipo:

$x -= a mod m.c.m. (100, 26, 441)$



( $m.c.m. (100, 26, 441)$ $=$ $m.c.m. (100*13, 441)$ )

la congruenza $K$ che ottengo poi la devo sostituire in $549+700k$ in modo da ricavarmi la soluzione finale del sistema... è quello che mi vuoi dire in poche parole?

[SaraSueEss]

Quello che hai scritto è un po' pasticciato, non si capisce dove parti e dove sostituisci, cosa sostituisci.
Se vuoi usare le diofantee devi considerare soltanto 2 congruenze per volta.

$\{(x-=49 (100)),(x-=-1 (26)),(x-=229 (441)):}$ $=>$ $\{(x=49 +100h),(x =-1 +26k):}$

$=>$ $49 +100h =-1 +26k$ $=>$ $26k -100h = 50$ che è risolta dalla coppia $(k, h) = (25,6)$

Adesso si può sostitutire indifferentemente $h$ o $k$ nelle precedenti congruenze, scelgo $h$:

$x = 49 + 100h$ $=>$ $x = 49 + 100(6)$ $=>$ $x -= 649 mod m.c.m.(100,26) = 13*100$

Questa congruenza risolve le prime due, quindi va sostitutiva nel sistema di partenza al loro posto, per poi passare a risolvere quel che resta come appena fatto.

[banino84]

"SaraSue":Quello che hai scritto è un po' pasticciato, non si capisce dove parti e dove sostituisci, cosa sostituisci.
Se vuoi usare le diofantee devi considerare soltanto 2 congruenze per volta.

$\{(x-=49 (100)),(x-=-1 (26)),(x-=229 (441)):}$ $=>$ $\{(x=49 +100h),(x =-1 +26k):}$

$=>$ $49 +100h =-1 +26k$ $=>$ $26k -100h = 50$ che è risolta dalla coppia $(k, h) = (25,6)$

Adesso si può sostitutire indifferentemente $h$ o $k$ nelle precedenti congruenze, scelgo $h$:

$x = 49 + 100h$ $=>$ $x = 49 + 100(6)$ $=>$ $x -= 649 mod m.c.m.(100,26) = 13*100$

Questa congruenza risolve le prime due, quindi va sostitutiva nel sistema di partenza al loro posto, per poi passare a risolvere quel che resta come appena fatto.

Ok, grazie dopo ci provo e ti faccio sapere