Come formalizzare la proprietà simmetrica

[lucantautore]

salve,
se considero la proprietà simmetrica questa dovrebbe corrispondere al seguente concetto:
in un insieme I, vale la proprietà simmetrica se per ogni x,y per cui si verifica che xRy, allora succede, si verifica, che anche yRx.

Nel libro Introduzione alla Logica di theodor Bucher la proprietà simmetrica viene scritta formalmente così:
per ogni x, per ogni y (xRy --> yRx) con la --> che corrisponde all'implicazione materiale.

Io però non riesco a trovare logica questa formalizzazione. Se considero la tavola di verità della p -->q, questa è:
p | q | -->
V | V | V
V | F | F
F | V | V
F | F | V

Se a p e q sostituisco rispettivamente xRy e yRx, otterrei che:

xRy|yRx | -->
V | V | V
V | F | F
F | V | V
F | F | V

Ma se considero il caso F|V|V questo secondo me corrisponderebbe a dire che: se xRy è F e yRX è V, la coesistenza di queste due condizioni è Vera. Ma se considero che yRx è Vera, per la definizione stessa di proprietà simmetrica, deve essere anche che xRy è Vera. Quindi sarei portato a dire che una formalizzazione delle proprietà simmetrica, dovrebbe corrispondere alla seguente tavola di verità:

xRy|yRx |
V | V | V
V | F | F
F | V | F
F | F | V

ma in tal caso questa sarebbe la tavola di verità della <--> (doppia implicazione o equivalenza).
Ovvero la formalizzazione della proprietà simmetrica per me sarebbe corretta così:
per ogni x, per ogni y (xRy <--> yRx)

Dove sbaglio?

[killing_buddha]

Cosi' ad occhio questa condizione
$$\forall x\forall y(xRy \Rightarrow y Rx)$$
implica la tua semplicemente scambiando i ruoli di $x,y$. Potrebbe interessarti caratterizzare le relazioni simmetriche $A\to A$ in maniera intrinseca come quei sotto-oggetti $R\subseteq A\times A$ tali che $R\stackrel{(p_2,p_1)}{\rightarrow}R\stackrel{(p_1,p_1)}{\rightarrow} A\times A$ sia uguale a $R$, come qui.

[garnak.olegovitc1]

Salve lucantautore,

"lucantautore":salve,
se considero la proprietà simmetrica questa dovrebbe corrispondere al seguente concetto:
in un insieme I, vale la proprietà simmetrica se per ogni x,y per cui si verifica che xRy, allora succede, si verifica, che anche yRx.

Nel libro Introduzione alla Logica di theodor Bucher la proprietà simmetrica viene scritta formalmente così:
per ogni x, per ogni y (xRy --> yRx) con la --> che corrisponde all'implicazione materiale.

Io però non riesco a trovare logica questa formalizzazione. Se considero la tavola di verità della p -->q, questa è:
p | q | -->
V | V | V
V | F | F
F | V | V
F | F | V

Se a p e q sostituisco rispettivamente xRy e yRx, otterrei che:

xRy|yRx | -->
V | V | V
V | F | F
F | V | V
F | F | V

Ma se considero il caso F|V|V questo secondo me corrisponderebbe a dire che: se xRy è F e yRX è V, la coesistenza di queste due condizioni è Vera. Ma se considero che yRx è Vera, per la definizione stessa di proprietà simmetrica, deve essere anche che xRy è Vera. Quindi sarei portato a dire che una formalizzazione delle proprietà simmetrica, dovrebbe corrispondere alla seguente tavola di verità:

xRy|yRx |
V | V | V
V | F | F
F | V | F
F | F | V

ma in tal caso questa sarebbe la tavola di verità della <--> (doppia implicazione o equivalenza).
Ovvero la formalizzazione della proprietà simmetrica per me sarebbe corretta così:
per ogni x, per ogni y (xRy <--> yRx)

Dove sbaglio?

mmm... a pensarci un pò avrei dei dubbi quando dici:

"lucantautore":
se xRy è F e yRX è V, la coesistenza di queste due condizioni è Vera.

non saprei dirti se è lecito fare in questo modo anche perchè vorrei sapere cosa intendi per "coesistenza", intendi per caso "congiunzione logica"??.. se il problema del tuo ragionamento è lì allora tutto da te detto subito dopo cade in modo ovvio...
E' da molto tempo che non tocco logica, anche se non sono studente di matematica, spulcerò qualche vecchio testo e vediamo se riesco a venire a galla dal tuo ragionamento.!!

Cordiali saluti

[lucantautore]

"killing_buddha":Cosi' ad occhio questa condizione
$$\forall x\forall y(xRy \Rightarrow y Rx)$$
implica la tua semplicemente scambiando i ruoli di $x,y$. Potrebbe interessarti caratterizzare le relazioni simmetriche $A\to A$ in maniera intrinseca come quei sotto-oggetti $R\subseteq A\times A$ tali che $R\stackrel{(p_2,p_1)}{\rightarrow}R\stackrel{(p_1,p_1)}{\rightarrow} A\times A$ sia uguale a $R$, come qui.

Scusate, pensavo di aver settato l'opzione per farmi mandare via e-mail una notifica nel caso di una risposta al mio quesito.
DEvo aver sbagliato qualcosa ed ora mi accorgo della vostra risposta, di cui vi ringrazio. Fatta questa premessa per giustificare il mio ritardo, devo dire che non riesco a vedere come la condizione $$\forall x\forall y(xRy \Rightarrow y Rx)$$ implichi la mia semplicemente scambiando x con y.
Il mio cruccio, e rispondo così anche a garnak, è cosa si intenda a livello di tavola di verità con questa scrittura. Nel senso che per come la vedo io, forse erroneamente, dire che per ogni x e per ogni y (di un certo universo) è valida l'implicazione materiale, significa ch considerata una specifica coppia (x,y), questa determina a sua volta la coppia (xRy , yRx) e queste due coppie così determinate hanno un valore che è vero oppure falso e questo valore dipende dalla particolare R e dall'insieme di valori in cui x e y possono essere "estratti". Il fatto che la relazione simmetrica possa essere descritta con quella implicazione materiale, significherebbe , a mio avviso, che queste coppie (xRy, YRx) cadono in almeno uno dei 4 casi previsti dalla tavola di verità per l'implicazione materiale. Ora però , se considero il caso "contemplato", in cui il fatto che xRy possa essere falso e "allo stesso tempo" yRx vero possa essere una situazione "vera" (p=F, q= V, p--->q= V), non è a mio avviso una condizione possibile se parliamo di simmetria (peraltro se scambiassi x con y in questo caso avrei p=V, q= F , ma che per l'implicazione materiale mi dovrebbe dare un p--> q= F, quindi in contraddizione con la precedente).
Nel senso che se "x è simmetrico a y" è falso, non può essere che accade al contempo (riga della tavola di verità F V V) che "y è simmetrico a x" è vero. E viceversa scambiando x con y. Cioè secondo me xRy: F e yRx: V è nel caso della R = relazione di simmetria una possibilità Falsa. Cioè , volendo costruire una tavola di verità della proprietà di simmetria, verrebbe fuori che il caso xRy=F e yRx=V non può accadere, è falso. quindi: F V F. Ricavando gli altri casi con questo ragionamento otterrei una tavola di verità che corrisponderebbe alla doppia implicazione e non alla semplice implicazione materiale