Come dimostro con un or?
Ciao, credo di essermi incastrato su una idea che non so formalizzare bene.
Faccio un esempio stupido ma l'idea vale in generale.
Mettiamo che si voglia dimostrare che a!=0 O b!=0 implica a^2+b^2!=0
Vorrei farlo non per via contronominale ma analizzando che "quando l'ipotesi è vera, mi dà la tesi vera".
Idealmente dovrei dire verifico che a!=0 O b!=0 è vera e mostro che a^2+b^2!=0 è vera.
Banalmente posso prendere a!=0 e b=0, e noto che effettivamente a^2+b^2!=0 è vera.
Ma mi chiedo: basa questa verifica? Perché in teoria chi mi assicura che la a=0 e b!=0 renda di nuovo vera a^2+b^2!=0?
Mi sono quindi detto, per verificarlo devo allora agire in questo modo, ho guardato la tavola di verita di a!=0 O b!=0 e sapendo che è vera in tre casi, cioe I a!=0 e b=0, II a=0 e b!=0, III a!=0 e a!=0, quindi verifico tutti questi tre casi e vedo che è vero a^2+b^2!=0
il mio dubbio è: è corretto verificare tutti e tre? O è lavoro sprecato e ne basta solo uno come inizialmene avevo fatto (cioè il caso: a!=0 e b=0, per esemio)?
Grazie
Faccio un esempio stupido ma l'idea vale in generale.
Mettiamo che si voglia dimostrare che a!=0 O b!=0 implica a^2+b^2!=0
Vorrei farlo non per via contronominale ma analizzando che "quando l'ipotesi è vera, mi dà la tesi vera".
Idealmente dovrei dire verifico che a!=0 O b!=0 è vera e mostro che a^2+b^2!=0 è vera.
Banalmente posso prendere a!=0 e b=0, e noto che effettivamente a^2+b^2!=0 è vera.
Ma mi chiedo: basa questa verifica? Perché in teoria chi mi assicura che la a=0 e b!=0 renda di nuovo vera a^2+b^2!=0?
Mi sono quindi detto, per verificarlo devo allora agire in questo modo, ho guardato la tavola di verita di a!=0 O b!=0 e sapendo che è vera in tre casi, cioe I a!=0 e b=0, II a=0 e b!=0, III a!=0 e a!=0, quindi verifico tutti questi tre casi e vedo che è vero a^2+b^2!=0
il mio dubbio è: è corretto verificare tutti e tre? O è lavoro sprecato e ne basta solo uno come inizialmene avevo fatto (cioè il caso: a!=0 e b=0, per esemio)?
Grazie
Risposte
E' lavoro sprecato:
chi mi assicura che la $a=0$ e $b\ne 0$ renda di nuovo vera $a^2+b^2\ne 0$?Te lo assicura la stessa dimostrazione che ha provato che \(a\ne 0,b=0 \Rightarrow a^2+b^2\ne 0\), che è poi la stessa dimostrazione che prova che \(a\ne 0\Rightarrow a^2 > 0\), \(b\ne 0\Rightarrow b^2>0\) e quindi \(a^2+b^2 > 0+0=0\).
Occhio, l'implicazione logica
$(A or B) => C$
è equivalente a
$(A => C) and (B => C)$
Questo si dimostra con una semplice tabella di verità.
$(A or B) => C$
è equivalente a
$(A => C) and (B => C)$
Questo si dimostra con una semplice tabella di verità.
Vi ringrazio e rispondo in ordine cronologico:
a) effettivamente data l'arbitrarietà di a, posso assumerla come b nel seconodo caso e quindi quello che volevo chiedere si vanifica.
In realtà la domanda voleva piùìuttosto essere essere; se ho (A o B) => C, per dimostrarla, basta che mostro una delle: I se A vero e B no allora C, II se A è falso e B vero allora C, III se A è vero e B è vero allora C o servono tutte e tre?
Era questo che volevo chiedere, ma non mi ero reso conto che nel mio esempio l'arbitrarietà di a vanificava la domanda.
b) in effetti non ci avevo proprio pensato di ridurla in una forma più comoda. Mi sembra che la tua risposta mi porti a dire che devo dimostrare I e II del punto (a). La cosa mi stupisce perché se penso alla tavola di verità dell'or io ho che a primo membro dell'implicazione per avere l ipotesi vera dovrei analizzare tre casi: A vero B no, A falso B vero e A vero B vero, e quindi ero convinto di dover dimostrare che se l'antecednete è vero in questi tre casi è sempre vero il conseguente. Invece, in fin dei conti, basta provare A vero B no e A falso B vero e ho finito, insomma due casi? O sbaglio
a) effettivamente data l'arbitrarietà di a, posso assumerla come b nel seconodo caso e quindi quello che volevo chiedere si vanifica.
In realtà la domanda voleva piùìuttosto essere essere; se ho (A o B) => C, per dimostrarla, basta che mostro una delle: I se A vero e B no allora C, II se A è falso e B vero allora C, III se A è vero e B è vero allora C o servono tutte e tre?
Era questo che volevo chiedere, ma non mi ero reso conto che nel mio esempio l'arbitrarietà di a vanificava la domanda.
b) in effetti non ci avevo proprio pensato di ridurla in una forma più comoda. Mi sembra che la tua risposta mi porti a dire che devo dimostrare I e II del punto (a). La cosa mi stupisce perché se penso alla tavola di verità dell'or io ho che a primo membro dell'implicazione per avere l ipotesi vera dovrei analizzare tre casi: A vero B no, A falso B vero e A vero B vero, e quindi ero convinto di dover dimostrare che se l'antecednete è vero in questi tre casi è sempre vero il conseguente. Invece, in fin dei conti, basta provare A vero B no e A falso B vero e ho finito, insomma due casi? O sbaglio
Come ti hanno già detto, \((p\lor q\to r)\equiv ((p\to r)\land (q\to r))\).
Non esattamente, devi mostrare due cose, le seguenti.
1. Se A è vero allora C è vero.
2. Se B è vero allora C è vero.
Nota che nella (1) non devi supporre niente su B, e che nella (2) non devi supporre niente su A.
1. Se A è vero allora C è vero.
2. Se B è vero allora C è vero.
Nota che nella (1) non devi supporre niente su B, e che nella (2) non devi supporre niente su A.
Nota che nella (1) non devi supporre niente su B, e che nella (2) non devi supporre niente su A.
Ho capito il mio errore, in effetti pensavo di dover supporre A vero e ipotizzare B falso, menre l'idea è solo supporre A vero e poi B vero. Ho capito.
C'è solo una cosa che mi piacerebbe comprendere per chiudere il discorso, ma per quanto ci pensi non capisco il motivo: io so che per dimostrare => si devon prendere i casi in cui l'ipotesi è vera e mostrare che è verificata la tesi (cioè quel che sta a destra della frecciolina), benissimo.
Ma perché allora il mio metodo stupidotto non funziona, cioè voglio dire io so che un or è vero in tre casi:
A vero B falso
A falso B vero
A vero B vero
Mi aspettavo allora che io potessi fare l'unione di questi tre casi e verificare che nei tre casi fosse C vero.
A parte la vostra soluzione (cioè riformulare con la taovla e avere ((a→c)∧(b→c)) ) che ora mi è chiara, mi chiedevo perché il mio metodo non andasse.
PS: tra le altre cose ho detto unione ma volevo dire che dovessi verificare i tre casi.
Quello che voglio dire è che mi sembra corretto come ragionamento, l'or è vero in quei tre casi, io verifico che è vero C in quei tre casi: dovrei aver dimostrato. Ma quindi cosa non va? Non capisco la pecca del mio ragionamento.
Quello che voglio dire è che mi sembra corretto come ragionamento, l'or è vero in quei tre casi, io verifico che è vero C in quei tre casi: dovrei aver dimostrato. Ma quindi cosa non va? Non capisco la pecca del mio ragionamento.
"olberto":Sì è corretto. Invece è sbagliato verificare solo un caso.
il mio dubbio è: è corretto verificare tutti e tre?
Ah ecco, allora avevo solo frainteso 
, pensavo fosse tutto sbagliato il mio modo, invece era sbagliato il caso singolo (ovviamente).
In poche parole con il "modo bruteforce"[nota]o metodo stolto[/nota]: se ho tre possibilità per cui la tavola logica di "or" (cioè la mia ipotesi) è vera sulle classiche tre righe, prendo queste tre righe e le unisco con and, ossia provo il primo caso A vero B falso e C vero AND A falso B vero e dimostro C vero AND terzo caso: A B veri e dimostro C. Così in pratica sono sicuro che funziona, ma uno furbo avrebbe semplificato come da te suggerito.
credo ora di aver capito, siete stati molto gentili e vi ringrazio tanto
- olberto -
, pensavo fosse tutto sbagliato il mio modo, invece era sbagliato il caso singolo (ovviamente).In poche parole con il "modo bruteforce"[nota]o metodo stolto[/nota]: se ho tre possibilità per cui la tavola logica di "or" (cioè la mia ipotesi) è vera sulle classiche tre righe, prendo queste tre righe e le unisco con and, ossia provo il primo caso A vero B falso e C vero AND A falso B vero e dimostro C vero AND terzo caso: A B veri e dimostro C. Così in pratica sono sicuro che funziona, ma uno furbo avrebbe semplificato come da te suggerito.
credo ora di aver capito, siete stati molto gentili e vi ringrazio tanto
- olberto -
Prego!
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