Come calcolare la cardinalità di questo insieme?
Sia A := {n appartiene a Z| 1 <= n <= 16} e sia B := {n appartiene ad A| 3 divide n}.
Si calcolino le cardinalità dei seguenti insiemi P , Q e R:
P := {f appartiene a A^B | f è iniettiva},
Q := {f appartiene a A^B | f è iniettiva e f(3) = 4},
R := {C appartiene a 2^A | la cardinalità di C unito B è uguale a 3}.
La cardinalità di P è data dalla formula:
|A|! / (|A| - |B|)! = 5765760 e fino a qua non ci sono problemi...
la cardinalità di Q ed R invece come si calcolano?...grazie in anticipo a chi mi darà una spiegazione
Si calcolino le cardinalità dei seguenti insiemi P , Q e R:
P := {f appartiene a A^B | f è iniettiva},
Q := {f appartiene a A^B | f è iniettiva e f(3) = 4},
R := {C appartiene a 2^A | la cardinalità di C unito B è uguale a 3}.
La cardinalità di P è data dalla formula:
|A|! / (|A| - |B|)! = 5765760 e fino a qua non ci sono problemi...
la cardinalità di Q ed R invece come si calcolano?...grazie in anticipo a chi mi darà una spiegazione
Risposte
Non sono proprio convintissimo ma mi pare siano:
$|A|=16$ con $|B|=5$
da cui:
$(|A|!) / ((|A| - |B|)!) = (16!)/(11!) = 16*15*14*13*12=524160$
Q invece ho una scelta su $16=|A|$ fissa mentre le altre possono essere qualsiasi mantenendo l'iniettività, quindi:
$|Q|=((|A|-1)!) / ((|A| - 1 - |B|)!) = 360360$
R è l'insieme dei sottoinsiemi di A tale che la cardinalità di un suo elemento unita a quella di B è uguale a 3... ma qui pare ovvia.
$|A|=16$ con $|B|=5$
da cui:
$(|A|!) / ((|A| - |B|)!) = (16!)/(11!) = 16*15*14*13*12=524160$
Q invece ho una scelta su $16=|A|$ fissa mentre le altre possono essere qualsiasi mantenendo l'iniettività, quindi:
$|Q|=((|A|-1)!) / ((|A| - 1 - |B|)!) = 360360$
R è l'insieme dei sottoinsiemi di A tale che la cardinalità di un suo elemento unita a quella di B è uguale a 3... ma qui pare ovvia.
"Lord K":
Non sono proprio convintissimo ma mi pare siano:
$|A|=16$ con $|B|=5$
da cui:
$(|A|!) / ((|A| - |B|)!) = (16!)/(11!) = 16*15*14*13*12=524160$
Q invece ho una scelta su $16=|A|$ fissa mentre le altre possono essere qualsiasi mantenendo l'iniettività, quindi:
$|Q|=((|A|-1)!) / ((|A| - 1 - |B|)!) = 360360$
R è l'insieme dei sottoinsiemi di A tale che la cardinalità di un suo elemento unita a quella di B è uguale a 3... ma qui pare ovvia.
Sei sicuro che |B| sia 5 e non 6?...perchè secondo me gli elementi di B sono: {1,3,6,9,12,15} o sbaglio?
Comunque mi spieghi come mai la cardinalità di R è ovvia?...scusa la mia ignoranza..
B ha 5 elementi (perché 1 non è multiplo di 3). a parte questo, nella formula della cardinalità di Q, oltre a togliere un elemento da A va tolto un elemento anche da B.
i miei calcoli per $|P|$ coincidono con quelli di Lord K, anche se io preferisco usare il fattoriale decrescente; $|Q|=15*14*13*12=32760$. per quanto riguarda R, tieni presente che B ha cinque elementi; l'unione di B con qualsiasi altro insieme ha almeno cinque elementi; può esistere un insieme che unito a B abbia tre elementi? ovviamente no, quindi $|R|=0$ . ciao.
i miei calcoli per $|P|$ coincidono con quelli di Lord K, anche se io preferisco usare il fattoriale decrescente; $|Q|=15*14*13*12=32760$. per quanto riguarda R, tieni presente che B ha cinque elementi; l'unione di B con qualsiasi altro insieme ha almeno cinque elementi; può esistere un insieme che unito a B abbia tre elementi? ovviamente no, quindi $|R|=0$ . ciao.
Ragionissima adaBTTLS!!! Dovevo toglierlo anche da B!
"adaBTTLS":
per quanto riguarda R, tieni presente che B ha cinque elementi; l'unione di B con qualsiasi altro insieme ha almeno cinque elementi; può esistere un insieme che unito a B abbia tre elementi? ovviamente no, quindi $|R|=0$ . ciao.
Ok...e se invece fosse stato che la cardinalità di "C intersecato a B" era 3 al posto di "C unito B" ?Qual'era il risultato?...grazie mille e scusate la mia ignoranza..
in quel caso dovresti creare insiemi costituiti da tre dei cinque elementi di B e da un non precisato numero di elementi di A-B. quindi bisogna moltiplicare il coefficiente binomiale "5 su 3" (numero dei sottoinsiemi di B aventi 3 elementi)per "2^11" (numero dei sottoinsiemi di A-B). ho difficoltà a scrivere in formule il coefficiente binomiale, ma dovrebbe essere chiaro. OK? ciao.
"adaBTTLS":
in quel caso dovresti creare insiemi costituiti da tre dei cinque elementi di B e da un non precisato numero di elementi di A-B. quindi bisogna moltiplicare il coefficiente binomiale "5 su 3" (numero dei sottoinsiemi di B aventi 3 elementi)per "2^11" (numero dei sottoinsiemi di A-B). ho difficoltà a scrivere in formule il coefficiente binomiale, ma dovrebbe essere chiaro. OK? ciao.
è chiaro...grazie mille..
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