Come ben ordinare $RR$?

[Paolo8881]

Nella teoria degli insiemi è presente il principio di Zermelo: "Ogni insieme è ben ordinabile"; gli insiemi ben ordinati sono insiemi totalmente ordinati, isomorfi ad un ordinale, con la proprietà che ogni loro sottoinsieme abbia minimo. $RR$ è isomorfo ad un ordinale, totalmente ordinato, come si può dargli un buon ordine?

[gugo82]

[mod="gugo82"]Sposto in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.

Occhio alla sezione in futuro, please.[/mod]

[Paolo8881]

Mi è venuto in mente che l'analisi non-standard potrebbe risolvere il problema: diciamo che$epsilon$ è un infinitesimo attuale se$ 0< epsilon <1/n$ per ogni n. Allora per ogni intervallo aperto almeno da sinistra di$R$ tipo $(a,b]$ questo sottoinsieme ammette minimo rispetto a <, $a+epsilon$

[Studente Anonimo]

"Paolo888":Mi è venuto in mente che l'analisi non-standard potrebbe risolvere il problema: diciamo che$epsilon$ è un infinitesimo attuale se$ 0< epsilon <1/n$ per ogni n. Allora per ogni intervallo aperto almeno da sinistra di$R$ tipo $(a,b]$ questo sottoinsieme ammette minimo rispetto a <, $a+epsilon$

Non si tratta di dimostrare che l'ordine usuale di [tex]\mathbb{R}[/tex] e' un buon ordine (il che e' falso) ma che esiste un ordine che rende [tex]\mathbb{R}[/tex] bene ordinato. Forse intendevi costruire un buon ordine con gli infinitesimi attuali ma non ho ben capito come lo fai.

La costruzione generale la puoi trovare nella dimostrazione del teorema del buon ordinamento. Non credo che un buon ordine su [tex]\mathbb{R}[/tex] sia umanamente esplicitabile (anche perche' il teorema del buon ordinamento e' equivalente all'assioma della scelta).

[Paolo8881]

Si', intendevo costruire un buon ordine, almeno per i reali positivi, usando uno ed un solo infinitesimo attuale $epsilon< 1/n$ per ogni n naturale.( $epsilon>0$). In questo modo, come ho già spiegato prima, ogni sottoinsieme di $R+$ avrebbe minimo rispetto al buon ordine <=(r)

[Studente Anonimo]

"Paolo888":Si', intendevo costruire un buon ordine, almeno per i reali positivi, usando uno ed un solo infinitesimo attuale $epsilon< 1/n$ per ogni n naturale.( $epsilon>0$). In questo modo, come ho già spiegato prima, ogni sottoinsieme di $R+$ avrebbe minimo rispetto al buon ordine <=(r)

Si capisce ben poco se non proponi una costruzione formale. Inoltre ho paura che gli infinitesimi attuali non siano elementi di [tex]\mathbb{R}[/tex], quindi ho idea che quello che dici non si possa fare.