Coerenza Teoria dell'Analisi
Da giorni ho un dubbio esistenziale di carattere logico che mi perseguita; cerco di sintetizzare il tutto con delle domande:
1)La teoria dell'analisi reale, ha un gruppo di assiomi proprio o è completamente sviluppata a partire dalla Teoria degli insiemi(ZFC)?
Di solito Il campo $RR$ è descritto per via assiomatica dato che si dimostra che tutti i campi numerici che hanno quelle proprietà sono isomorfi: sarebbero questi gli assiomi da considerare oltre a quelli di ZFC?
So anche che i Reali si possono costruire partendo dai razionali(alla Dedekind o alla Cauchy per esempio) ma questi?avevo studiato che i razionali si ottengono come insieme quoziente, cosi come gli interi dai naturali e quindi riconducendo il tutto a questi ultimi ma tutto attraverso la teoria degli insiemi e agli Assiomi di Peano.(è per questo motivo quindi che si preferisce una descrizione assiomatica? per togliere di mezzo Peano?)
1a)Gli assiomi che caratterizzano il campo $RR$ generano una teoria coerente?
Questo perchè io immagino che una volta che è stato dimostrato un Teorema c'è la possibilità che si possa dimostrare anche la sua negazione ottenendo quindi l'incoerenza della Teoria.
2) mi sembra che lo sviluppo della matematica moderna sia completamente basato sul metodo assiomatico e sulla logica intesa come appunto sistema formale a partire dalla Teoria degli insiemi, (anche per la logica ho visto l'approccio della deduzione naturale che fa uso solo di regole di inferenza, ma a questo punto si potrebbe costruire una Teoria facendo uso solo della deduzione naturale?)Inoltre so che per ZFC non è stata dimostrata la coerenza: quindi se un giorno venisse dimostrata una contraddizione crollerebbe tutto come un castello di carte? Ad esempio tutte le proposizioni che si fanno in Analisi reale verrebbero meno?anche le piu banali?
3)Il secondo teorema di incompletezza di Gödel si applica a quelle Teorie "sufficientemente espressive da contenere l'aritmetica": vorrei capire bene cosa si intende per "aritmetica".
Grazie in anticipo!!
1)La teoria dell'analisi reale, ha un gruppo di assiomi proprio o è completamente sviluppata a partire dalla Teoria degli insiemi(ZFC)?
Di solito Il campo $RR$ è descritto per via assiomatica dato che si dimostra che tutti i campi numerici che hanno quelle proprietà sono isomorfi: sarebbero questi gli assiomi da considerare oltre a quelli di ZFC?
So anche che i Reali si possono costruire partendo dai razionali(alla Dedekind o alla Cauchy per esempio) ma questi?avevo studiato che i razionali si ottengono come insieme quoziente, cosi come gli interi dai naturali e quindi riconducendo il tutto a questi ultimi ma tutto attraverso la teoria degli insiemi e agli Assiomi di Peano.(è per questo motivo quindi che si preferisce una descrizione assiomatica? per togliere di mezzo Peano?)
1a)Gli assiomi che caratterizzano il campo $RR$ generano una teoria coerente?
Questo perchè io immagino che una volta che è stato dimostrato un Teorema c'è la possibilità che si possa dimostrare anche la sua negazione ottenendo quindi l'incoerenza della Teoria.
2) mi sembra che lo sviluppo della matematica moderna sia completamente basato sul metodo assiomatico e sulla logica intesa come appunto sistema formale a partire dalla Teoria degli insiemi, (anche per la logica ho visto l'approccio della deduzione naturale che fa uso solo di regole di inferenza, ma a questo punto si potrebbe costruire una Teoria facendo uso solo della deduzione naturale?)Inoltre so che per ZFC non è stata dimostrata la coerenza: quindi se un giorno venisse dimostrata una contraddizione crollerebbe tutto come un castello di carte? Ad esempio tutte le proposizioni che si fanno in Analisi reale verrebbero meno?anche le piu banali?
3)Il secondo teorema di incompletezza di Gödel si applica a quelle Teorie "sufficientemente espressive da contenere l'aritmetica": vorrei capire bene cosa si intende per "aritmetica".
Grazie in anticipo!!
Risposte
Ti dico la mia in attesa che risponda qualche esperto in materia:
1) La zfc può sviluppare l'analisi reale.
1a) Il teorema di incompletezza dice che non si può dimostrare che una teoria coerente è coerente.
2)Per il principio di esplosione se in una teoria formale esiste una contraddizione allora ogni cosa che può essere dimostrate vera all'interno della teoria può anche essere dimostrata falsa. Questo vorrebbe dire che se si scoprisse una contraddizione in zfc anche i teoremi più basilari potrebbero essere falsi? Io credo di no, come dimostra Godel la verità delle cose sta aldilà delle loro dimostrazioni, significherebbe solo che non abbiamo un linguaggio abbastanza potente da formalizzarli che è un grave problema ma non ha direttamente a che fare con il valore di verità di un'idea. Insomma sembra assurdo ma in realtà la matematica è anche una questione di fede.
3)Il teorema di incompletezza nella propria dimostrazione utilizza i numeri naturali e la loro fattorizzazione unica in numeri primi quindi si può applicare solo a teorie abbastanza potenti da sviluppare i numeri naturali. Non ho mai approfondito sull'argomento ma mi pare che un modello dei numeri naturali sia Peano, insomma le teorie che possono svilupparli sono quelle in cui valgono gli assiomi di Peano o dove questi si possano dimostrare veri.
La logica proposizionale si può dimostrare essere coerente e completa ma ovviamente non è una teoria che può formalizzare i numeri naturali.
1) La zfc può sviluppare l'analisi reale.
1a) Il teorema di incompletezza dice che non si può dimostrare che una teoria coerente è coerente.
2)Per il principio di esplosione se in una teoria formale esiste una contraddizione allora ogni cosa che può essere dimostrate vera all'interno della teoria può anche essere dimostrata falsa. Questo vorrebbe dire che se si scoprisse una contraddizione in zfc anche i teoremi più basilari potrebbero essere falsi? Io credo di no, come dimostra Godel la verità delle cose sta aldilà delle loro dimostrazioni, significherebbe solo che non abbiamo un linguaggio abbastanza potente da formalizzarli che è un grave problema ma non ha direttamente a che fare con il valore di verità di un'idea. Insomma sembra assurdo ma in realtà la matematica è anche una questione di fede.
3)Il teorema di incompletezza nella propria dimostrazione utilizza i numeri naturali e la loro fattorizzazione unica in numeri primi quindi si può applicare solo a teorie abbastanza potenti da sviluppare i numeri naturali. Non ho mai approfondito sull'argomento ma mi pare che un modello dei numeri naturali sia Peano, insomma le teorie che possono svilupparli sono quelle in cui valgono gli assiomi di Peano o dove questi si possano dimostrare veri.
La logica proposizionale si può dimostrare essere coerente e completa ma ovviamente non è una teoria che può formalizzare i numeri naturali.
In una nota storica all'interno del libro "Istituzioni di algebra astratta" di Lucio Lombardo-Radice ho trovato una citazione a J. Tucker veramente bella sull'argomento:
"La paura che una contraddizione latente possa circolare dentro un sistema formale è un tratto caratteristico del formalismo. Questa paura delle contraddizioni latenti mostra una mancanza di fede nella nostra capacità di comprendere la cause delle contraddizioni... In ogni caso, la presenza di una contraddizione in un sistema formale non rende l'intero sistema privo di senso... Certo se A e non A sono dimostrabili entro un sistema formale e se non c'è modo di trovare come e dove la contraddizione nasce, allora ogni proposizione del sistema è dimostrabile e il sistema nel suo insieme è inutilizzabile. Ma noi non siamo mai in una situazione così disperata. Perché non esiste una contraddizione senza causa, una contraddizione che non può essere seguita fino alla sua origine."
"La paura che una contraddizione latente possa circolare dentro un sistema formale è un tratto caratteristico del formalismo. Questa paura delle contraddizioni latenti mostra una mancanza di fede nella nostra capacità di comprendere la cause delle contraddizioni... In ogni caso, la presenza di una contraddizione in un sistema formale non rende l'intero sistema privo di senso... Certo se A e non A sono dimostrabili entro un sistema formale e se non c'è modo di trovare come e dove la contraddizione nasce, allora ogni proposizione del sistema è dimostrabile e il sistema nel suo insieme è inutilizzabile. Ma noi non siamo mai in una situazione così disperata. Perché non esiste una contraddizione senza causa, una contraddizione che non può essere seguita fino alla sua origine."
"NoSignal":
1)La teoria dell'analisi reale, ha un gruppo di assiomi proprio o è completamente sviluppata a partire dalla Teoria degli insiemi(ZFC)?
La teoria dell'analisi reale (solitamente) si sviluppa all'interno del sistema assiomatico ZFC.
"NoSignal":
Di solito Il campo $RR$ è descritto per via assiomatica dato che si dimostra che tutti i campi numerici che hanno quelle proprietà sono isomorfi: sarebbero questi gli assiomi da considerare oltre a quelli di ZFC?
Qui fai un po' di confusione. Dimostrare che tutti i campi archimedei ordinati completi (spero di non sbagliare, vado a memoria) sono isomorfi non dimostra che ne esiste almeno uno. Serve una costruzione esplicita dei reali (all'interno di ZFC). La buona notizia è che, come osservi anche dopo ne esistono molte.
"NoSignal":
So anche che i Reali si possono costruire partendo dai razionali(alla Dedekind o alla Cauchy per esempio) ma questi?avevo studiato che i razionali si ottengono come insieme quoziente, cosi come gli interi dai naturali e quindi riconducendo il tutto a questi ultimi ma tutto attraverso la teoria degli insiemi e agli Assiomi di Peano.(è per questo motivo quindi che si preferisce una descrizione assiomatica? per togliere di mezzo Peano?)
Anche qui c'è un po' di confusione. Gli assiomi di Peano sono un possibile approccio assiomatico per l'aritmetica, ma sono soddisfatti da tanti modelli. Nel sistema assiomatico ZFC si può costruire un tale modello. Di solito per costruire gli insiemi numerici si procede come segue: si definisce usando gli assiomi di ZFC l'insieme $\mathbb N$ dei numeri naturali. Si osserva che forma naturalmente un monoide commutativo (strutturalmente: è il monoide libero su un generatore), se ne prende il gruppo di Grothendieck e lo si chiama $\mathbb Z$, gruppo dei numeri interi. Questo è per costruzione un gruppo, ma ha naturalmente una struttura di anello (strutturalmente: è l'anello iniziale), si osserva che è un dominio di integrità, se ne prende il campo dei quozienti e lo si chiama $\mathbb Q$, insieme dei numeri razionali (strutturalmente: il campo di caratteristica $0$ iniziale). Questo è un campo, ma non è completo, si costruisce $\mathbb R$ in uno dei modi di cui sopra (da un punto di vista concettuale se ne sta comunque prendendo il completamento di Cauchy). A questo punto si prende la chiusura algebrica dei reali e si ottiene $\mathbb C$, il campo dei numeri complessi.
"NoSignal":
1a)Gli assiomi che caratterizzano il campo $RR$ generano una teoria coerente?
Ce lo auguriamo
"NoSignal":
Questo perchè io immagino che una volta che è stato dimostrato un Teorema c'è la possibilità che si possa dimostrare anche la sua negazione ottenendo quindi l'incoerenza della Teoria.
Ci auguriamo di no
"NoSignal":
2) mi sembra che lo sviluppo della matematica moderna sia completamente basato sul metodo assiomatico e sulla logica intesa come appunto sistema formale a partire dalla Teoria degli insiemi, (anche per la logica ho visto l'approccio della deduzione naturale che fa uso solo di regole di inferenza, ma a questo punto si potrebbe costruire una Teoria facendo uso solo della deduzione naturale?)Inoltre so che per ZFC non è stata dimostrata la coerenza: quindi se un giorno venisse dimostrata una contraddizione crollerebbe tutto come un castello di carte? Ad esempio tutte le proposizioni che si fanno in Analisi reale verrebbero meno?anche le piu banali?
Sono domande difficili, non essendo io un logico non proverò a rispondere, ma su internet (e nel mondo accademico) se ne discute di tanto in tanto: con una rapida ricerca su Google puoi trovare [1], [2], [3] e tante, tante, tante altre discussioni al riguardo.
"NoSignal":
3)Il secondo teorema di incompletezza di Gödel si applica a quelle Teorie "sufficientemente espressive da contenere l'aritmetica": vorrei capire bene cosa si intende per "aritmetica".
Una teoria che contenga un modello per gli assiomi di Peano. (Di nuovo: vado a memoria, spero di non sbagliarmi.)
Faccio qualche commento riguardo ai teoremi di Gödel e agli assiomi di Peano, con la premessa che non sono in alcun modo un esperto di questi argomenti.
La locuzione "teorie sufficientemente espressive da contenere l'aritmetica" è un modo per non scendere in tecnicismi quando si parla in modo naif dei teoremi di Gödel.
Il teorema di incompletezza (I e II) è applicabile a tutte quelle teorie $T$ che siano:
i) consistenti (non derivino contraddizioni)
ii) sufficientemente potenti ( i predicati ricorsivi siano tutti rappresentabili in $T$)
iii) il linguaggio e l'insieme degli assiomi della teoria sono ricorsivi.
Prima di tutto bisogna quindi capire cosa significa sottoinsieme ricorsivo dei numeri naturali: in termini estremamente intuitivi significa che è possibile avere un "algoritmo" che in un tempo finito ti dica se un certo numero appartiene o meno all'insieme. Quindi iii) ti dice che una volta "codificati" gli assiomi e il linguaggio della teoria con numeri naturali, c'è un algoritmo che in un tempo finito ti dice se un certo numero codifica o meno un assioma. In pratica ti dice che il teorema si applica a quelle teorie il cui insieme di assiomi sia almeno "dominabile computazionalmente".
ii) ti dice che per ogni predicato $P$ (leggi sottoinsieme di $ℕ^k$) che sia ricorsivo, questo deve essere rappresentabile in $T$ per mezzo di una formula. Rappresentabile in parole povere povere vuol dire che esiste una formula di $T$ tale che ogni volta che una $k$-pla appartiene a $P$, la formula alle cui variabili ho sostituito i numeri della $k$-pla (immagina che nel linguaggio di $T$ ci sia sempre una costante per ogni numero naturale) è dimostrabile, e se la $k$-pla non appartiene a $P$, posso dimostrare la negazione.
Ora, un esempio di teoria del genere è PA che sta appunto per "Aritmetica di Peano". In realtà però, storicamente tra gli assiomi di Peano c'è il principio di induzione matematica. La differenza tra gli assiomi di Peano e la teoria PA è che il principio di induzione matematica è sostituito con uno "schema di induzione" che è più debole ma che ti consente di rimanere al primo ordine. Il principio di induzione matematica invece quantifica su sottoinsiemi. La differenza è sostanziale perché gli assiomi di Peano identificano i numeri naturali come loro unico modello, mentre PA non lo fa: si può dimostrare agilmente che ammette anche modelli diversi dai numeri naturali.
Nel momento in cui applichi il primo teorema di incompletezza di Gödel alla teoria i cui assiomi sono quelli originali di Peano, che ha come unico modello $ℕ$ ottieni che il risultato di incompletezza sintattica di Gödel ( in PA ci sono enunciati indecibili, cioè che non posso dimostrare o a dimostrarne la negazione) si trasforma in un'incompletezza semantica. Cioè gli assiomi di Peano non sono in grado di dimostrare tutte le formule che seguono logicamente da essi, cioè che sono vere in ogni loro modello, cioè che sono vere nel loro unico modello $ℕ$.
Affinché i teoremi di Godel siano applicabili non basta che la teoria abbia tra i suoi modelli i numeri naturali. Ad esempio se prendo PA e "tolgo la moltiplicazione" ottengo una teoria che banalmente ha $ℕ$ come suo modello, ma che non è sufficientemente potente. (Infatti una teoria del genere di può dimostrare essere sintatticamente completa)
Il secondo teorema di Godel ci dice invece che una teoria non può dimostrare internamente la propria consistenza. Questo ci dice che la consistenza di una teoria matematica non è dimostrabile in modo epistemologicamente accettabile. (Gerhard Gentzen ha dato una dimostrazione della consistenza dell'aritmetica al primo ordine, ma lo ha fatto utilizzando un'altra teoria.)
3)Il secondo teorema di incompletezza di Gödel si applica a quelle Teorie "sufficientemente espressive da contenere l'aritmetica": vorrei capire bene cosa si intende per "aritmetica".
La locuzione "teorie sufficientemente espressive da contenere l'aritmetica" è un modo per non scendere in tecnicismi quando si parla in modo naif dei teoremi di Gödel.
Il teorema di incompletezza (I e II) è applicabile a tutte quelle teorie $T$ che siano:
i) consistenti (non derivino contraddizioni)
ii) sufficientemente potenti ( i predicati ricorsivi siano tutti rappresentabili in $T$)
iii) il linguaggio e l'insieme degli assiomi della teoria sono ricorsivi.
Prima di tutto bisogna quindi capire cosa significa sottoinsieme ricorsivo dei numeri naturali: in termini estremamente intuitivi significa che è possibile avere un "algoritmo" che in un tempo finito ti dica se un certo numero appartiene o meno all'insieme. Quindi iii) ti dice che una volta "codificati" gli assiomi e il linguaggio della teoria con numeri naturali, c'è un algoritmo che in un tempo finito ti dice se un certo numero codifica o meno un assioma. In pratica ti dice che il teorema si applica a quelle teorie il cui insieme di assiomi sia almeno "dominabile computazionalmente".
ii) ti dice che per ogni predicato $P$ (leggi sottoinsieme di $ℕ^k$) che sia ricorsivo, questo deve essere rappresentabile in $T$ per mezzo di una formula. Rappresentabile in parole povere povere vuol dire che esiste una formula di $T$ tale che ogni volta che una $k$-pla appartiene a $P$, la formula alle cui variabili ho sostituito i numeri della $k$-pla (immagina che nel linguaggio di $T$ ci sia sempre una costante per ogni numero naturale) è dimostrabile, e se la $k$-pla non appartiene a $P$, posso dimostrare la negazione.
Ora, un esempio di teoria del genere è PA che sta appunto per "Aritmetica di Peano". In realtà però, storicamente tra gli assiomi di Peano c'è il principio di induzione matematica. La differenza tra gli assiomi di Peano e la teoria PA è che il principio di induzione matematica è sostituito con uno "schema di induzione" che è più debole ma che ti consente di rimanere al primo ordine. Il principio di induzione matematica invece quantifica su sottoinsiemi. La differenza è sostanziale perché gli assiomi di Peano identificano i numeri naturali come loro unico modello, mentre PA non lo fa: si può dimostrare agilmente che ammette anche modelli diversi dai numeri naturali.
Nel momento in cui applichi il primo teorema di incompletezza di Gödel alla teoria i cui assiomi sono quelli originali di Peano, che ha come unico modello $ℕ$ ottieni che il risultato di incompletezza sintattica di Gödel ( in PA ci sono enunciati indecibili, cioè che non posso dimostrare o a dimostrarne la negazione) si trasforma in un'incompletezza semantica. Cioè gli assiomi di Peano non sono in grado di dimostrare tutte le formule che seguono logicamente da essi, cioè che sono vere in ogni loro modello, cioè che sono vere nel loro unico modello $ℕ$.
Affinché i teoremi di Godel siano applicabili non basta che la teoria abbia tra i suoi modelli i numeri naturali. Ad esempio se prendo PA e "tolgo la moltiplicazione" ottengo una teoria che banalmente ha $ℕ$ come suo modello, ma che non è sufficientemente potente. (Infatti una teoria del genere di può dimostrare essere sintatticamente completa)
Il secondo teorema di Godel ci dice invece che una teoria non può dimostrare internamente la propria consistenza. Questo ci dice che la consistenza di una teoria matematica non è dimostrabile in modo epistemologicamente accettabile. (Gerhard Gentzen ha dato una dimostrazione della consistenza dell'aritmetica al primo ordine, ma lo ha fatto utilizzando un'altra teoria.)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo