[Coefficienti Binomiali] Somma Riga T. Di Tartaglia
Buongiorno a tutti, mi trovo a dover risolvere questo problema:
Io ho seguito questo procedimento (Va dimostrato per Induzione):
La mia affermazione è quindi la seguente $ P(n): sum_(k=0)^(n)( (n), (k) ) = 2^n $
Passo Base)
$ P(0): ( (0), (0) )= 2^0 rArr 1=1 $ Verificato, dato che l'elemento $ c(0,0) $ sarebbe la punta del triangolo.
Ipotesi Induttiva)
$ P(n) rArr P(n+1): sum_(k=0)^(n+1)( (n+1), (k) ) = 2^(n+1) $
Passo Induttivo)
$sum_(k=0)^(n+1)( (n+1), (k) ) = sum_(k=0)^(n)( (n+1), (k) )+( (n+1), (n+1))$
$sum_(k=0)^(n)( (n+1), (k) )+( (n+1), (n+1)) = sum_(k=0)^(n)((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)+1$ (Il primo e l'ultimo elemento della stessa riga = 1)
$ sum_(k=0)^(n)((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)+1 = sum_(k=0)^(n) (n!)/(k!(n-k)!) (n+1)/(n+1-k) +1$
Ed ora mi blocco, perchè non credo sia legittimo utilizzare l'ipotesi induttiva su di un solo pezzo della sommatoria.
Suggerimenti?
Ciao!
"Testo Esercizio":
[size=150]Dimostrare che la somma degli elementi della $n$-esima riga del triangolo di Tartaglia è $2^n AA n$[/size]
Io ho seguito questo procedimento (Va dimostrato per Induzione):
La mia affermazione è quindi la seguente $ P(n): sum_(k=0)^(n)( (n), (k) ) = 2^n $
Passo Base)
$ P(0): ( (0), (0) )= 2^0 rArr 1=1 $ Verificato, dato che l'elemento $ c(0,0) $ sarebbe la punta del triangolo.
Ipotesi Induttiva)
$ P(n) rArr P(n+1): sum_(k=0)^(n+1)( (n+1), (k) ) = 2^(n+1) $
Passo Induttivo)
$sum_(k=0)^(n+1)( (n+1), (k) ) = sum_(k=0)^(n)( (n+1), (k) )+( (n+1), (n+1))$
$sum_(k=0)^(n)( (n+1), (k) )+( (n+1), (n+1)) = sum_(k=0)^(n)((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)+1$ (Il primo e l'ultimo elemento della stessa riga = 1)
$ sum_(k=0)^(n)((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)+1 = sum_(k=0)^(n) (n!)/(k!(n-k)!) (n+1)/(n+1-k) +1$
Ed ora mi blocco, perchè non credo sia legittimo utilizzare l'ipotesi induttiva su di un solo pezzo della sommatoria.
Suggerimenti?
Ciao!
Risposte
Usa [tex]\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}[/tex].
Dato un insieme con n elementi quanti sottoinsiemi ha? E quanti sottoinsiemi ha con un dato numero k di elementi?
Dato un insieme con n elementi quanti sottoinsiemi ha? E quanti sottoinsiemi ha con un dato numero k di elementi?
"Martino":
Usa \( \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \).
Dato un insieme con n elementi quanti sottoinsiemi ha? E quanti sottoinsiemi ha con un dato numero k di elementi?
Ne ha $2^n$ perchè un numero può esserci o non esserci in ciascun sottoinsieme.
Ho provato in questo modo, ma mi blocco nello stesso punto:
$ sum_(k=0)^(n+1)( (n+1), (k) ) = sum_(k=0)^(n+1)[( (n), (k) )+( (n), (k-1) )] =sum_(k=0)^(n+1)( (n), (k) )+sum_(k=0)^(n+1)( (n), (k-1) ) $
$rArr sum_(k=0)^(n)[( (n), (k) )]+sum_(k=0)^(n)[( (n), (k-1) )]+1+( (n+1), (k) )$
$2^n +sum_(k=0)^(n)[( (n), (k-1) )]+1+( (n+1), (k) )$
Cosa devo fare?
Prego non c'è di che.
Scrivi [tex]\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 1+\sum_{k=1}^n [\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}]+n+1[/tex].
Scrivi [tex]\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 1+\sum_{k=1}^n [\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}]+n+1[/tex].
"axpgn":
Guarda se questo ti è utile ...
Cordialmente, Alex
Grazie mille Alex! Fantastico!
"Martino":
Prego non c'è di che.
Scrivi [tex]\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 1+\sum_{k=1}^n [\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}]+n+1[/tex].
Quel $+n$ da dove viene tirato fuori?
Grazie in anticipo!
Leggi bene gli indici sotto e sopra la sommatoria.
Scusa hai ragione togli l'$n$. Ma cerca di non fissarti sui dettagli 
"Martino":
Scusa hai ragione togli l'$n$. Ma cerca di non fissarti sui dettagli
Ahahaha se lo sapessi che sono dettagli, allora avrei capito
Grazie Martino! Ora vedo di studiarmi un pò la soluzione!
A presto
Provo a scriverlo meglio.
[tex]\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = \binom{n+1}{0} + \binom{n+1}{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}[/tex]
[tex]= 2 + \sum_{k=1}^n [\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}] = 2 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}[/tex]
Sai continuare?
[tex]\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = \binom{n+1}{0} + \binom{n+1}{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}[/tex]
[tex]= 2 + \sum_{k=1}^n [\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}] = 2 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}[/tex]
Sai continuare?
"Martino":
Provo a scriverlo meglio.
[tex]\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = \binom{n+1}{0} + \binom{n+1}{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}[/tex]
[tex]= 2 + \sum_{k=1}^n [\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}] = 2 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1}[/tex]
Sai continuare?
Cerco di farcela!! Tanto sono davanti al pc con i libri aperti
, provo subito!Grazie di cuore!
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