Coefficiente binomiale multinomiale.

[G.D.5]

Come mostriamo che i coefficienti binomila e multinomiale sono naturali?
Per il coefficiente binomiale conosce una prova per induzione che sfrutta il fatto che il coefficiente in questione "conta" il numero dei sottoinsiemi di un insieme $S$ di cardinalità $n$ aventi $k$ elementi. Conoscete altre prove?
E per quello multinomiale?

[aleph_91]

Uhm, mi pare che basti il fatto che $n_1!...n_k!|(n_1+...+n_k)!$

[G.D.5]

"aleph_91":Uhm, mi pare che basti il fatto che $n_1!...n_k!|(n_1+...+n_k)!$

E questo bel fatto come lo proviamo?

[aleph_91]

Induzione, per $k=2$ vale per la storia dei coeff binomiali, poi $n_1!...n_{k+1}!|(n_1+...+n_k)!n_{k+1}!$, quest'ultimo pezzo divide $(n_1+...+n_{k+1}!)$ per via del caso $k=2$.

Altrimenti: prendo $n_1+...+n_k$ oggetti e li partiziono in $k$ insiemi con cardinalità gli $n_i$: le permutazioni che rispettano tale partizione sono un sottogruppo di $S_N$ ove $N=n_1+..+n_k$

[G.D.5]

OK. Chiarissimo.
Grazie.