Codici lineari binari:proprietà da dimostrare

[Lali1]

Provare che in un codice lineare binario accade sempre una delle due:
tutte le parole iniziano con 0
o esattamente la metà inizia con zero e l'altra metà con 1.

Dovrei dimostrare questa proposizione però non riesco a capire bene come potrei impostare il ragionamento.Ho delle difficoltà nell'essere rigorosa e precisa in algebra dove spesso mi trovo ad avere a che fare con fenomeni anti-intuitivi. Qualcuno può darmi una mano?

[Stickelberger]

La proiezione sulla prima coordinata e' un
omomorfismo $f$ dal tuo codice verso il campo di due elementi.
Ci sono solo due possibilita' per l'immagine di $f$ : zero o tutto.
Ci sono quindi anche solo due possibilita' per il nucleo....