Classi resto invertibili
Buongiorno ragazzi, mi scuso se una domanda del genere è stata già posta ma non ho trovato nulla a riguardo. Nella traccia di un esercizio che sto provando a fare mi dice: "Sia $ G = U(ZZ)_(21) $ il gruppo moltiplicativo delle classi resto invertibili di $ ZZ_(21) $" . Potete spiegarmi che cos'è una classe resto? E una classe resto invertibile? Grazie in anticipo 
Risposte
Non sai cosa rappresenta l'insieme $ZZ_n$?
Bè in effetti neanche quello mi è molto chiaro. Potresti spiegarmelo?.. Grazie 
E tu parti a risolvere un esercizio di algebra senza sapere che è sta roba? Ma come ti viene? Non hai un libro di teoria dove spiega cosa siano le congruenze con i numeri interi e le proprietà di queste e come si definisce l'insieme delle classi resto? Ma davvero stai facendo o stai babbiando?????
Purtroppo non c'è una spiegazione riguardo questo, sto studiando su una dispensa (che è ben fatta) anche se riguardo questo non ho trovato nulla di veramente chiaro... 
Mah, mi pare strano. Comunque, in soldoni, sia $ZZ$ l'insieme dei numeri interi e consideriamo $n\in NN$ fissato$. Sia data la seguente relazione
$$a,b\in\mathbb{Z},\ a\mathcal{R} b\ \Leftrightarrow\ \exists\ k\in\mathbb{Z}\ :\ a-b=kn$$
La precedente relazione risulta di equivalenza (è facile dimostrarlo) e prende il nome di relazione di congruenza modulo $n$: in generale se $a,b$ sono in relazione, si usa scrivere $a\equiv b\ \mod\ n$. Come tutte le relazioni di congruenza, pertanto, è possibile definire le classi di equivalenza: per ogni $a\in ZZ$ si definisce
$$[a]_n=\left\{b\in\mathbb{Z}\ :\ \exists\ k\in\mathbb{Z},\ b=a+kn\right\}$$
Nel caso specifico delle classi modulo $n$ si può dimostrare che esse sono esattamente $n$ e sono rappresentate da $[k]_n,\ k=0,\ldots,n-1$: il motivo è semplice: possiamo pensare alla scrittura $b=kn+a$ come la divisione euclidea di $b$ per $n$. Allora $k$ rappresenta il quoziente della divisione e $a$ (il rappresentante della classe) il resto di tale divisione che, come dovresti ben sapere, deve avere la proprietà seguente: $0\le |a|\le n-1$. Pertanto, possiamo scegliere come rappresentanti delle classi solo quelli indicati con i valori numerici interi positivi da zero a $n-1$.
Questo, in soldoni, è una classe resto. Un elemento invertibile, in un anello con unità $A$ (sai cos'è un anello?), è invece un elemento $a\in A,\ a\ne 0_A$ ($0_A$ l'elemento neutro dell'addizione) tale per cui esiste il reciproco moltiplicativo, cioè per il quale esiste un elemento $b\in A$ per cui $ab=1_A$ (inverso destro) o $ba=1_A$ (inverso sinistro) dove $1_A$ rappresenta l'unità di $A$. Ad esempio, in $ZZ$ gli unici elementi invertibili sono $\pm 1$, in quanto, il reciproco di qualsiasi altro numero intera conduce ad un numero razionale (frazione) che non appartiene all'anello degli interi.
Ora, saresti in grado di determinare gli invertibili di $ZZ_{21}$? Prima di farlo, ti faccio notare una cosa: prendiamo $ZZ_6$, le cui classi sono date da $[0]_6,\ [1]_6,\ [2]_6,\ [3]_6,\ [4]_6,\ [5]_6$. La moltiplicazione si esegue moltiplicando i rappresentanti e riducendoli modulo $6$. Pertanto, escluso lo zero, si ha
$$[1]_6\cdot [1]_6=[1\cdot 1]_6=[1]_6$$
per cui $[1]_6$ è invertibile. Inoltre
$$[5]_6\cdot [5]_6=[5\cdot 5]_6=[25]_6=[1]_6$$
(avendo osservato che $25$ diviso $6$ ha resto $1$) e quindi anche $[5]_6$ è invertibile con inverso se stesso. Ma cosa accade, ad esempio, con $[2]_6$? Osserva che
$$[2]_6\cdot [3]_6=[6]_6=[0]_6,\quad [2]_6\cdot[4]_6=[8]_6=[2]_6$$
e pertanto la classe $[2]_6$ non è invertibile (e neanche le classi $[3]_6,\ [4]_6$ lo sono). Quale è il motivo? Risiede nella seguente proposizione (che ti invito a dimostrare)
Gli elementi invertibili di $ZZ_n$ sono tutti quelli per i quali il rappresentate risulti coprimo con $n$, cioè le classi $[k]_n,\ k=1,\ldots,n-1$ per cui $(k,n)=1$ (essendo $(\cdot,\cdot)$ il Massimo Comune Divisore tra i numeri)
Ora vediamo un po' cosa riesci a fare.
$$a,b\in\mathbb{Z},\ a\mathcal{R} b\ \Leftrightarrow\ \exists\ k\in\mathbb{Z}\ :\ a-b=kn$$
La precedente relazione risulta di equivalenza (è facile dimostrarlo) e prende il nome di relazione di congruenza modulo $n$: in generale se $a,b$ sono in relazione, si usa scrivere $a\equiv b\ \mod\ n$. Come tutte le relazioni di congruenza, pertanto, è possibile definire le classi di equivalenza: per ogni $a\in ZZ$ si definisce
$$[a]_n=\left\{b\in\mathbb{Z}\ :\ \exists\ k\in\mathbb{Z},\ b=a+kn\right\}$$
Nel caso specifico delle classi modulo $n$ si può dimostrare che esse sono esattamente $n$ e sono rappresentate da $[k]_n,\ k=0,\ldots,n-1$: il motivo è semplice: possiamo pensare alla scrittura $b=kn+a$ come la divisione euclidea di $b$ per $n$. Allora $k$ rappresenta il quoziente della divisione e $a$ (il rappresentante della classe) il resto di tale divisione che, come dovresti ben sapere, deve avere la proprietà seguente: $0\le |a|\le n-1$. Pertanto, possiamo scegliere come rappresentanti delle classi solo quelli indicati con i valori numerici interi positivi da zero a $n-1$.
Questo, in soldoni, è una classe resto. Un elemento invertibile, in un anello con unità $A$ (sai cos'è un anello?), è invece un elemento $a\in A,\ a\ne 0_A$ ($0_A$ l'elemento neutro dell'addizione) tale per cui esiste il reciproco moltiplicativo, cioè per il quale esiste un elemento $b\in A$ per cui $ab=1_A$ (inverso destro) o $ba=1_A$ (inverso sinistro) dove $1_A$ rappresenta l'unità di $A$. Ad esempio, in $ZZ$ gli unici elementi invertibili sono $\pm 1$, in quanto, il reciproco di qualsiasi altro numero intera conduce ad un numero razionale (frazione) che non appartiene all'anello degli interi.
Ora, saresti in grado di determinare gli invertibili di $ZZ_{21}$? Prima di farlo, ti faccio notare una cosa: prendiamo $ZZ_6$, le cui classi sono date da $[0]_6,\ [1]_6,\ [2]_6,\ [3]_6,\ [4]_6,\ [5]_6$. La moltiplicazione si esegue moltiplicando i rappresentanti e riducendoli modulo $6$. Pertanto, escluso lo zero, si ha
$$[1]_6\cdot [1]_6=[1\cdot 1]_6=[1]_6$$
per cui $[1]_6$ è invertibile. Inoltre
$$[5]_6\cdot [5]_6=[5\cdot 5]_6=[25]_6=[1]_6$$
(avendo osservato che $25$ diviso $6$ ha resto $1$) e quindi anche $[5]_6$ è invertibile con inverso se stesso. Ma cosa accade, ad esempio, con $[2]_6$? Osserva che
$$[2]_6\cdot [3]_6=[6]_6=[0]_6,\quad [2]_6\cdot[4]_6=[8]_6=[2]_6$$
e pertanto la classe $[2]_6$ non è invertibile (e neanche le classi $[3]_6,\ [4]_6$ lo sono). Quale è il motivo? Risiede nella seguente proposizione (che ti invito a dimostrare)
Gli elementi invertibili di $ZZ_n$ sono tutti quelli per i quali il rappresentate risulti coprimo con $n$, cioè le classi $[k]_n,\ k=1,\ldots,n-1$ per cui $(k,n)=1$ (essendo $(\cdot,\cdot)$ il Massimo Comune Divisore tra i numeri)
Ora vediamo un po' cosa riesci a fare.
Se questo è in soldoni.. Grazie mille ciampax!! La traccia segue: "e sia $ H $ il sottogruppo di $ (G,· )$ generato da $ bar(4) $." Vediamo se ci ho capito qualcosa: le classi resto che appartengono al gruppo moltiplicativo delle classi resto invertibili di $ ZZ_21 $ sono le classi $ [1]_21, [2]_21, [4]_21, [5]_21, [8]_21, [10]_21, [11]_21, [13]_21, [16]_21, [17]_21, [19]_21, [20]_21 $ mentre il sottogruppo dato dalle classi per cui i rappresentanti risultino coprimi con $ 4 $, è dato da $ [1]_21, [5]_21, [11]_21, [17]_21 $ .. giusto?
La traccia segue: "e sia $ H $ il sottogruppo di $ (G,· )$ generato da $ bar(4) $." Vediamo se ci ho capito qualcosa: le classi resto che appartengono al gruppo moltiplicativo delle classi resto invertibili di $ ZZ_21 $ sono le classi $ [1]_21, [2]_21, [4]_21, [5]_21, [8]_21, [10]_21, [11]_21, [13]_21, [16]_21, [17]_21, [19]_21, [20]_21 $ mentre il sottogruppo dato dalle classi per cui i rappresentanti risultino coprimi con $ 4 $, è dato da $ [1]_21, [5]_21, [11]_21, [17]_21 $ .. giusto?
Il sottogruppo generato da $[4]_{21}$ è ottenuto prendendo le potenze di tale classe, in quanto è un sottogruppo del gruppo con la moltiplicazione. per cui
$$[4]_{21}=\left\{[1]_{21},\ [4]_{21},\ [16]_{21}\right\}$$
in quanto $[4]_{21}^3=[64]_{21}=[1]_{21}$.
Ora, tu chiudi questa discussione, spegni il computer, prendi un cavolo di libro di teoria e ti studi questa roba, perché il modo in cui stai procedendo non solo è errato ma controproducente, visto che non hai le basi minime neanche per leggerlo, un esercizio!
$$[4]_{21}=\left\{[1]_{21},\ [4]_{21},\ [16]_{21}\right\}$$
in quanto $[4]_{21}^3=[64]_{21}=[1]_{21}$.
Ora, tu chiudi questa discussione, spegni il computer, prendi un cavolo di libro di teoria e ti studi questa roba, perché il modo in cui stai procedendo non solo è errato ma controproducente, visto che non hai le basi minime neanche per leggerlo, un esercizio!
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