Classi laterali, non riesco a comprenderle
Salve a tutti sto studiando il teorema di Lagrange e non riesco a capire come sono formati gli insieme della classe laterale sx e dx di a modulo. H.
Praticamente nell'introduzione mi viene detto :
Sia G un gruppo e sia H un sottogruppo di G.
Dato $ a in G $, i sottoinsiemi
$aH = {ah | h in H } $ e $ Ha = {ha | h in G }$
si chiamano rispettivamente classe laterale sinistra di a modulo H e classe laterale destra di a modulo H.
La cosa che non capisco è come sono fatti praticamente questi due insiemi.
Io gli ho pensati così.
Sia il mio $G = ( RR, +)$, ad esempio prendo questo insieme per fare un esempio pratico $G = {-3, 3, -2, 2, -1, 1, 0}$
Questo è un gruppo dal momento che l'operazione di G è associativa per questi elementi, inoltre esiste un elemento neutro, esiste il simmetrico di ogni elemento.
Sia il mio H un sottogruppo di G dunque prendo questo sottoinsieme $H = {0, 1, -1}$.
Quindi ad esempio la classe laterale di 3 modulo H è questa?
Se $a = 3$ allora $3H = {(3*-1)}$
Cioè devo prendere un elemento di G e moltiplicarlo per un elemento di H???
Ma così facendo questi insiemi sono costituiti da un solo elemento giusto???
Praticamente nell'introduzione mi viene detto :
Sia G un gruppo e sia H un sottogruppo di G.
Dato $ a in G $, i sottoinsiemi
$aH = {ah | h in H } $ e $ Ha = {ha | h in G }$
si chiamano rispettivamente classe laterale sinistra di a modulo H e classe laterale destra di a modulo H.
La cosa che non capisco è come sono fatti praticamente questi due insiemi.
Io gli ho pensati così.
Sia il mio $G = ( RR, +)$, ad esempio prendo questo insieme per fare un esempio pratico $G = {-3, 3, -2, 2, -1, 1, 0}$
Questo è un gruppo dal momento che l'operazione di G è associativa per questi elementi, inoltre esiste un elemento neutro, esiste il simmetrico di ogni elemento.
Sia il mio H un sottogruppo di G dunque prendo questo sottoinsieme $H = {0, 1, -1}$.
Quindi ad esempio la classe laterale di 3 modulo H è questa?
Se $a = 3$ allora $3H = {(3*-1)}$
Cioè devo prendere un elemento di G e moltiplicarlo per un elemento di H???
Ma così facendo questi insiemi sono costituiti da un solo elemento giusto???
Risposte
$G$ non mi pare sia un sottogruppo con le l'operazione $+$, infatti $-3 + -3=-6$ che non è elemento di $G$
Per fare un esempio concreto riferiamoci sempre a $ZZ$. Considera il sottogruppo $3ZZ={0,3,6,...}$
Allora la classe laterale di $2$ sarà data da $2a$ con $a in 3ZZ$ cioè sarà l'insieme ${2,2+3,2+6,..}$
Facciamo in altro esempio: Considera $S_3$. E consideriamo il sottogruppo $<(123)> = {id, (123), (132)}$
Determinare le classi laterali di $(12)$ modulo $<(123)>$.
Classe laterale destra $id \circ (12), (123) \circ (12), (132) \circ (12)$
Classe laterale sinistra $(12) \circ id, (12) \circ (123), (12) \circ (132)$
Spero di essere stato chiaro, anche se non credo. Nel caso chiedi pure!
Per fare un esempio concreto riferiamoci sempre a $ZZ$. Considera il sottogruppo $3ZZ={0,3,6,...}$
Allora la classe laterale di $2$ sarà data da $2a$ con $a in 3ZZ$ cioè sarà l'insieme ${2,2+3,2+6,..}$
Facciamo in altro esempio: Considera $S_3$. E consideriamo il sottogruppo $<(123)> = {id, (123), (132)}$
Determinare le classi laterali di $(12)$ modulo $<(123)>$.
Classe laterale destra $id \circ (12), (123) \circ (12), (132) \circ (12)$
Classe laterale sinistra $(12) \circ id, (12) \circ (123), (12) \circ (132)$
Spero di essere stato chiaro, anche se non credo. Nel caso chiedi pure!
Ora credo di aver capito qualcosa in più, questo grazie a te e non al mio professore che non ha specificato che l'insieme è composto da tutti gli elementi $a*h$ se il gruppo è notato moltiplicativamente e da $a+h$ se notato additivamente per ogni h appartenente al sottogruppo.
Ora però stacco perchè sono stanchissimo, io vorrei continuare la discussione domani, spero di trovarti, grazie ciao ciao.
Ora però stacco perchè sono stanchissimo, io vorrei continuare la discussione domani, spero di trovarti, grazie ciao ciao.
"wino_7":
questo grazie a te e non al mio professore che non ha specificato che l'insieme è composto da tutti gli elementi $a*h$ se il gruppo è notato moltiplicativamente e da $a+h$ se notato additivamente per ogni h appartenente al sottogruppo.
Ma come "non lo ha specificato"? Il tuo professore ha scritto
\[aH=\{ah \mid h \in H\}\]
e questa è proprio la traduzione in formule di quanto hai scritto a parole.
P.S.:
Io gli ho pensati cosìIo li ho pensati così. No?
Io per $ ah $ intendo il prodotto tra l'elemento $a$ e l'elemento $h$.
Poi se anche in matematica si deve andare ad intuito allora va bene è come dici tu, anche perchè nel libro del mio professore ogni volta se non lo scriveva formalmente lo diceva a parole che se si parlava di addizione si faceva in un modo se si parlava di moltiplicazione si faceva di un altro.
Inoltre a me non sembra che da quella scrittura si capisca che l'insieme è formato da più elementi per non vedo scritto $ AA h in H $.
Infine il mio errore di ortografia nasce dal fatto che se rileggi bene il post ho specificato che ero stanchissimo visto che avevo studiato tutto il giorno, quindi mentre scrivevo ero poco lucido.
Questo è tutto in ogni caso non capisco il tuo intervento senza senso, che cosa volevi comunicare alla comunità????? Che ho commesso un errore di ortografia????
Ma per favore!!!!
Poi se anche in matematica si deve andare ad intuito allora va bene è come dici tu, anche perchè nel libro del mio professore ogni volta se non lo scriveva formalmente lo diceva a parole che se si parlava di addizione si faceva in un modo se si parlava di moltiplicazione si faceva di un altro.
Inoltre a me non sembra che da quella scrittura si capisca che l'insieme è formato da più elementi per non vedo scritto $ AA h in H $.
Infine il mio errore di ortografia nasce dal fatto che se rileggi bene il post ho specificato che ero stanchissimo visto che avevo studiato tutto il giorno, quindi mentre scrivevo ero poco lucido.
Questo è tutto in ogni caso non capisco il tuo intervento senza senso, che cosa volevi comunicare alla comunità????? Che ho commesso un errore di ortografia????
Ma per favore!!!!
"wino_7":Quando si definisce un insieme mediante una proprietà, ovvero mediante la scrittura
Io per $ ah $ intendo il prodotto tra l'elemento $a$ e l'elemento $h$.
Poi se anche in matematica si deve andare ad intuito allora va bene è come dici tu, anche perchè nel libro del mio professore ogni volta se non lo scriveva formalmente lo diceva a parole che se si parlava di addizione si faceva in un modo se si parlava di moltiplicazione si faceva di un altro.
Inoltre a me non sembra che da quella scrittura si capisca che l'insieme è formato da più elementi per non vedo scritto $ AA h in H $.
\[A = \{x \mid P(x)\ \text{è vera}\}\]
si intende che $A$ è costituito da tutti gli elementi \(x \) che verificano \(P(x)\). Nello specifico,
\[aH=\{ ah \mid h \in H\}\]
significa che \(aH\) è costituito da tutti gli elementi di forma \(ah\) che verificano la proprietà \(h \in H\). Metterci un quantificatore "per ogni" sarebbe un errore.
Sono sicuro tra l'altro che hai già incontrato questa scrittura altrove. Per esempio, cos'è l'immagine di una applicazione \(f: A \to B\)? E' l'insieme
\[\{f(x)\mid x \in A\}.\]
E' una scrittura che si ritrova ovunque in matematica.
Questo è tutto in ogni caso non capisco il tuo intervento senza senso, che cosa volevi comunicare alla comunità????? Che ho commesso un errore di ortografia????
Ma per favore!!!!
Se ti dà fastidio essere ripreso per errori grammaticali cerca di non farne. Oppure, se ti capita di farne non ti piccare così. Anche a me è capitato di commettere errori di grammatica su questo forum, anche reiterati: me lo si è fatto notare e non ho mai reagito come te.
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