Classi laterali destre

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sul mio testo di algebra che, date le classi laterali sinistre $aH$ e $bH$ di $H$ in $G$ vale\[aH=bH\iff aH\cap bH\ne\emptyset\iff a\in bH\iff b^{-1}a\in H\]Mi pare di essere riuscito a dimostrare, in modo del tutto analogo a quanto fatto nel mio testo per le implicazioni relative alle classi laterali sinistre, che per le classi laterali destre vale\[Ha=Hb\iff Ha\cap Hb\ne\emptyset\iff a\in Hb\iff ab^{-1}\in H\]
Qualcuno potrebbe confermare, o bastonarmi?
$\infty$ grazie a tutti!!

[vict85]

Esiste una funzione biettiva che manda laterali destri in laterali sinistri. È, a suo modo, piuttosto elementare.

Guarda il legame tra le due catene che hai dimostrato.

[DavideGenova1]

Quindi confermi che anche la seconda catena è corretta...
Per quanto riguarda applicazioni biiettive che mandano laterali destri in laterali sinistri, una la conosco, ma perché l'avevo già letta sul Bosch:

\[\varphi:G\to G,\quad g\mapsto g^{-1}\]che è tale che \(\varphi(aH)=Ha^{-1}\) e \(\varphi(Ha)=a^{-1}H\).

$\infty$ grazie, Vict!!!

[vict85]

Ma se la conoscevi allora il fatto che le due catene erano equivalenti era banale: la condizione di avere elementi in comune è puramente insiemistica.

[DavideGenova1]

Sì, sì, ma non do niente per scontato perché, studiando da autodidatta, temo spesso di arrivare a conclusioni scorrette...

[vict85]

Non preoccuparti comunque per qualsiasi struttura algebrica hai delle funzioni che lasciano invariata la struttura (gli omomorfismi). Quando vi è un omomorfismo e il dominio possiede qualche proprietà esprimibile attraverso la struttura allora anche l'immagine possiede quella proprietà (anche se non necessariamente la struttura in cui è contenuto). Nel caso in cui questa funzione sia invertibile con inversa dello stesso tipo allora le due strutture sono la stessa cosa dal punto di vista di quella teoria. Questo è il principio su cui si basa la teoria delle categoria e in generale l'algebra.

Quindi se dimostri qualcosa per un gruppo e hai un omomorfismo dentro un'altro non devi ridimostrare le cose. Il tutto può essere anche fatto al contrario cioè invece di farlo per il gruppo A lo posso dimostrare per il gruppo B se vi è una particolare funzione da uno all'altro. E così anche per insiemi, anelli, moduli, spazi vettoriali...