Classi di coniugio di \( GL_2(\mathbb{F}_q) \)
Ciao a tutti! Sto cercando di redarre in modo estremamente easy e dettagliato il modo per trovare le classi di coniugio di [tex]G = GL_2(\mathbb{F}_q)[/tex]. Tuttavia sto trovando alcune difficoltà (chi non ha voglia di leggersi tutto il pippotto, è con le matrici che descrivo al punto 3 e 4 che ho problemi 
).
Innanzitutto, la cardinalità di \(G\) è \( (q^2-1)(q^2-q) \), e questo è perché perciò che una matrice sia invertibile possiamo scegliere come primo vettore colonna qualunque vettore a elementi in \((\mathbb{F}_q)\) che non sia nullo, e come seconda colonna qualunque vettore che non sia linearmente dipendente dal primo.
Tenendo presente questo, cominciamo a parlare delle classi:
1. Matrici diagonalizzabili con un solo autovalore \(a\) in \( (\mathbb{F}_q) \)
Matrici che fanno parte di questa classe: tutte le matrici che possono essere trasformate per coniugio in \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix}.
Osserviamo che prendendo una matrice invertibile qualsiasi \(g = \begin{bmatrix} x & y \\ w & z \\ \end{bmatrix} \) e facendo il conto (per chi come me non se lo ricoda mai, l'inversa è: \( \frac{1}{xz-yw} \begin{bmatrix} z & -y \\ -w & x \\ \end{bmatrix} \) ), otteniamo \( g \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} g^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} \). Dunque non solo possiamo prendere \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} come rappresentante per questa classe, ma ogni classe di coniugio di questo tipo ha un solo elemento, che è la suddetta matrice.
Di questo tipo di classi ne abbiamo \( q-1 \), tante quante le possibili scelte per a, che può prendere qualunque valore non nullo in (\mathbb{F}_q) \).
Inoltre, sempre con il conto visto prima, proprio perché avevamo preso un \(g \) qualunque in \(G\), sappiamo che lo stabilizzatore \(Stab_G(a) := Stab_G( \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} )=G \), e quindi ha cardinalità \( (q^2-1)(q^2-q) \).
Quindi la cardinalità di ciascuna di queste classi è \( |C_a|= \frac{|G|}{|Stab_G(a)|}=\frac{|G|}{|G|}=1 \).
Da ciò, il numero di elementi di G contenuti il questa classe è \(q-1\).
2. Matrici diagonalizzabili con due autovalori \(a, b \) in \( (\mathbb{F}_q) \)
Consideriamo ora le matrici che possono essere trasformate in \(g_{a, b} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{bmatrix} \) per coniugio.
Considerato che autovalori e diagonalizzabilità sono invarianti per coniugio ( diagonalizzabilità: se \( g g_{a,b} g^{-1}= h \) elemento della classe di coniugio, allora \(h=g^{-1}g_{a, b}g\); autovalori: calcola il polinomio caratteristico di \( g g_{a,b} g^{-1} \) ), abbiamo che le matrici di questa classe sono tutte le diagonabilizzabili con due autovalori \(a, b \) in \( (\mathbb{F}_q) \) differenti.
Il numero di queste classi è dato dal numero di modi di prendere due elementi non nulli diversi tra loro in (\mathbb{F}_q) \), ovvero ci sono \( \binom{q-1}{2} = \frac{(q-1)(q-2)}{2}\).
Rispetto allo stabilizzatore, facendo il conto di cui sopra, e imponendo le \( g g_{a,b} g^{-1} \) per \(g\) qualunque, e imponendo le dovute condizioni, vediamo che si tratta di tutte le matrici diagonali di \(G\), che sono \((q-1)^2\).
Abbiamo tutto ciò che ci serve per calcolare la cardinalità di ognuna di queste classi, cioè \( \frac{(q^2-1)(q^2-q)}{ (q-1)^2}= q(q+1) \).
Il numero di elementi di \(G\) che sta in queste classi è dunque \( \frac{q(q-2)(q-1)(q+1)}{2} \).
3. Matrici non diagonalizzabili con un autovalore \(a \) in \( (\mathbb{F}_q) \)
Consideriamo in generale le matrici non diagonalizzabili con autovalori in \(\mathbb{F}_q) \).
OSSERVAZIONE: Queste matrici possono avere un unico autovalore, altrimenti sono diagonalizzabili. Ecco...come si potrebbe dimostrare questo?
Possiamo prendere come rappresentante di questa classe la matrice \( g_a = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} \). Qual è il modo più semplice per fare vedere che effettivamente che non è diagonalizzabile?
Continuiamo: di questo tipo di classi ce ne sono quanti sono i valori che può prendere \(a\), ovvero \(q-1\).
Stabilizzatore: considerando una \(g \in G \) qualunque, facendo il conto \( g g_a g^{-1}\) e imponendo che sia \=(g_a\), vediamo che è composto da tutte le matrici \( \begin{bmatrix} b & c \\ 0 & b \\ \end{bmatrix} \) con \(b \ne 0\), quindi la cardinalità dello stabilizzatore è \( q-1)q \).
Con questo possiamo calcolare la cardinalità di ciascuna di queste classi ( \( (q+1)(q-1) \) ), e il numero di elementi di \(G\) incluso in una di queste classi ( \((q+1)(q-1)^2 \) ).
4. Matrici non diagonalizzabili con autovalori in \( (\mathbb{F}_{q^2}) \)
Rimangono le matrici i cui autovalori stanno nella chiusura quadratica di \(\mathbb{F}_{q}\). Infatti ricordiamo che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico della matrice, e il polinomio caratteristico di una matrice \(2x2\) è un polinomio quadratico.
Dopodiché bisognerebbe fare delle considerazioni su come possono essere i due autovalori, utilizzando l'endomorfismo di Frobenius "standard" (quello che eleva alla potenza q-esima), i coniugati rispetto all'endomorfismo di Frobenius e il fatto che esso fissa \(\mathbb{F}_{q}\) (questo mi è particolarmente poco chiaro).
Qualcuno saprebbe come affrontare la questione?
).Innanzitutto, la cardinalità di \(G\) è \( (q^2-1)(q^2-q) \), e questo è perché perciò che una matrice sia invertibile possiamo scegliere come primo vettore colonna qualunque vettore a elementi in \((\mathbb{F}_q)\) che non sia nullo, e come seconda colonna qualunque vettore che non sia linearmente dipendente dal primo.
Tenendo presente questo, cominciamo a parlare delle classi:
1. Matrici diagonalizzabili con un solo autovalore \(a\) in \( (\mathbb{F}_q) \)
Matrici che fanno parte di questa classe: tutte le matrici che possono essere trasformate per coniugio in \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix}.
Osserviamo che prendendo una matrice invertibile qualsiasi \(g = \begin{bmatrix} x & y \\ w & z \\ \end{bmatrix} \) e facendo il conto (per chi come me non se lo ricoda mai, l'inversa è: \( \frac{1}{xz-yw} \begin{bmatrix} z & -y \\ -w & x \\ \end{bmatrix} \) ), otteniamo \( g \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} g^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} \). Dunque non solo possiamo prendere \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} come rappresentante per questa classe, ma ogni classe di coniugio di questo tipo ha un solo elemento, che è la suddetta matrice.
Di questo tipo di classi ne abbiamo \( q-1 \), tante quante le possibili scelte per a, che può prendere qualunque valore non nullo in (\mathbb{F}_q) \).
Inoltre, sempre con il conto visto prima, proprio perché avevamo preso un \(g \) qualunque in \(G\), sappiamo che lo stabilizzatore \(Stab_G(a) := Stab_G( \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} )=G \), e quindi ha cardinalità \( (q^2-1)(q^2-q) \).
Quindi la cardinalità di ciascuna di queste classi è \( |C_a|= \frac{|G|}{|Stab_G(a)|}=\frac{|G|}{|G|}=1 \).
Da ciò, il numero di elementi di G contenuti il questa classe è \(q-1\).
2. Matrici diagonalizzabili con due autovalori \(a, b \) in \( (\mathbb{F}_q) \)
Consideriamo ora le matrici che possono essere trasformate in \(g_{a, b} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{bmatrix} \) per coniugio.
Considerato che autovalori e diagonalizzabilità sono invarianti per coniugio ( diagonalizzabilità: se \( g g_{a,b} g^{-1}= h \) elemento della classe di coniugio, allora \(h=g^{-1}g_{a, b}g\); autovalori: calcola il polinomio caratteristico di \( g g_{a,b} g^{-1} \) ), abbiamo che le matrici di questa classe sono tutte le diagonabilizzabili con due autovalori \(a, b \) in \( (\mathbb{F}_q) \) differenti.
Il numero di queste classi è dato dal numero di modi di prendere due elementi non nulli diversi tra loro in (\mathbb{F}_q) \), ovvero ci sono \( \binom{q-1}{2} = \frac{(q-1)(q-2)}{2}\).
Rispetto allo stabilizzatore, facendo il conto di cui sopra, e imponendo le \( g g_{a,b} g^{-1} \) per \(g\) qualunque, e imponendo le dovute condizioni, vediamo che si tratta di tutte le matrici diagonali di \(G\), che sono \((q-1)^2\).
Abbiamo tutto ciò che ci serve per calcolare la cardinalità di ognuna di queste classi, cioè \( \frac{(q^2-1)(q^2-q)}{ (q-1)^2}= q(q+1) \).
Il numero di elementi di \(G\) che sta in queste classi è dunque \( \frac{q(q-2)(q-1)(q+1)}{2} \).
3. Matrici non diagonalizzabili con un autovalore \(a \) in \( (\mathbb{F}_q) \)
Consideriamo in generale le matrici non diagonalizzabili con autovalori in \(\mathbb{F}_q) \).
OSSERVAZIONE: Queste matrici possono avere un unico autovalore, altrimenti sono diagonalizzabili. Ecco...come si potrebbe dimostrare questo?
Possiamo prendere come rappresentante di questa classe la matrice \( g_a = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \\ \end{bmatrix} \). Qual è il modo più semplice per fare vedere che effettivamente che non è diagonalizzabile?
Continuiamo: di questo tipo di classi ce ne sono quanti sono i valori che può prendere \(a\), ovvero \(q-1\).
Stabilizzatore: considerando una \(g \in G \) qualunque, facendo il conto \( g g_a g^{-1}\) e imponendo che sia \=(g_a\), vediamo che è composto da tutte le matrici \( \begin{bmatrix} b & c \\ 0 & b \\ \end{bmatrix} \) con \(b \ne 0\), quindi la cardinalità dello stabilizzatore è \( q-1)q \).
Con questo possiamo calcolare la cardinalità di ciascuna di queste classi ( \( (q+1)(q-1) \) ), e il numero di elementi di \(G\) incluso in una di queste classi ( \((q+1)(q-1)^2 \) ).
4. Matrici non diagonalizzabili con autovalori in \( (\mathbb{F}_{q^2}) \)
Rimangono le matrici i cui autovalori stanno nella chiusura quadratica di \(\mathbb{F}_{q}\). Infatti ricordiamo che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico della matrice, e il polinomio caratteristico di una matrice \(2x2\) è un polinomio quadratico.
Dopodiché bisognerebbe fare delle considerazioni su come possono essere i due autovalori, utilizzando l'endomorfismo di Frobenius "standard" (quello che eleva alla potenza q-esima), i coniugati rispetto all'endomorfismo di Frobenius e il fatto che esso fissa \(\mathbb{F}_{q}\) (questo mi è particolarmente poco chiaro).
Qualcuno saprebbe come affrontare la questione?
Risposte
"celeste":Non mi trovo con questa affermazione!
...vediamo che si tratta di tutte le matrici diagonali di \(G\), che sono \((q-1)^2\)...
Matrici diagonali su un campo finito a q elementi: posso scegliere q-1 valori per la prima entrata sulla diagonale(ovvero posso scegliere su tutti gli elementi non nulli del campo), e q-1 per la seconda entrata...
I primi due punti mi tornano, prossimamente inizierò a leggere il terzo punto!
In pratica stai cercando di capire come sono fatte le classi di coniugio degli elementi semisemplici (giusto?). Questo (ultime tre pagine) mi pare scritto bene. Non so se si può fare a meno della teoria dei gruppi algebrici utilizzata lì, ci penso.
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