Classi di coniugio

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno, ho il seguente esercizio:
"Sia G un gruppo. Dimostrare che un sottogruppo normale di G e' unione disgiunta di classi di coniugio"
Io ho ragionato in questo modo ma non so se e' corretto perche' non utilizzo che il sottugruppo e' normale:
Prendo l'azione di G su N che e' il mio sottogruppo normale $G x N -> N$
Devo innanzitutto dimostrare che ogni elemento di N sta in qualche classe di coniugio. Ma questo e' ovvio per il fatto che se io prendo un qualsiasi x in N ho che questo sta nella sua classe di coniugio e quindi ok.
Ora devo dimostrare che se io prendo due classi laterali, queste o sono uguali o sono disgiunte. Considero quindi Cl(a) e Cl(b) due classi laterali e suppongo che la loro intersezione non sia vuota quindi prendo x che appartiene ad entrambe.
Avro' quindi $x=ga(g^(-1))$ e $x=kb(k^(-1))$ con $g,k∈G$
Ora devo quindi dimostrare che $Cl(a)=Cl(b)$ e quindi la doppia inclusione
$Cl(a)⊂Cl(b)$ prendo $t∈Cl(a)$ e quindi ho che $t=hah^(-1)$ con $h∈G$
da $x=gag^(-1)$ ricavo che $a=g^(-1)xg$ quindi sostituisco e ottengo $t=h(g^(-1))xg(h^(-1))$ ma $x=kb(k^(-1))$ quindi
$t=h(g^(-1))kb(k^(-1))g(h^(-1))$
ho che $h(g^(-1))k∈G$ e $(k^(-1))g(h^(-1))∈G$ e quindi ho concluso
analogamente l'altra inclusione

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L'unica cosa che ti manca da dimostrare è che se $x in N$ allora la classe di coniugio di $x$ in $G$ è contenuta in $N$.

[ludovica.sarandrea]

Se io prendo $x∈N$ e considero $Cl(x)$ questa sara' $Cl(x)={y∈G: yx(y)^-1=x$ devo quindi dimostrare che tutta la classe di coniugio sta in N.
Prendo $yx(y)^-1$, questo sta in N per ogni $y∈G$ perche' N e' normale e quindi ho concluso
Giusto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Giusto