Classi d'equivalenza
Ecco il problema:
Si consideri la seguente relazione sull'insieme Z dei numeri interi
$R={(a,b)| a,b in ZZ : 3b-a$ è un numero pari}
Dimostrare che R è una relazione d'equivalenza. Trovare se $[121]_R$ è una classe d'equivalenza. Quante sono le classi d'equivalenza individuate da R?
Per dimostrare che è una relazione basta che vedo se soddisfa la proprietò riflessiva, simmetrica e transitiva.
Riflessiva.
a $in$ Z, avrò 3a-a= che è sicuramente pari.
Simmetrica.
Sia (a,b) $in$ R, allora esiste w $in$ Z tale che 3b-a=2w. Dopo vari passaggi mi risulta 3a-b=2(-w+4b), perciò soddisfa pure la proprietà simmetrica.
Transitiva.
Ed è anche transitiva e vi risparmio i passaggi.
E a questo punto mi blocco sempre...Non riesco a capire come trovare le classi d'equivalenza.
Si consideri la seguente relazione sull'insieme Z dei numeri interi
$R={(a,b)| a,b in ZZ : 3b-a$ è un numero pari}
Dimostrare che R è una relazione d'equivalenza. Trovare se $[121]_R$ è una classe d'equivalenza. Quante sono le classi d'equivalenza individuate da R?
Per dimostrare che è una relazione basta che vedo se soddisfa la proprietò riflessiva, simmetrica e transitiva.
Riflessiva.
a $in$ Z, avrò 3a-a= che è sicuramente pari.
Simmetrica.
Sia (a,b) $in$ R, allora esiste w $in$ Z tale che 3b-a=2w. Dopo vari passaggi mi risulta 3a-b=2(-w+4b), perciò soddisfa pure la proprietà simmetrica.
Transitiva.
Ed è anche transitiva e vi risparmio i passaggi.
E a questo punto mi blocco sempre...Non riesco a capire come trovare le classi d'equivalenza.
Risposte
Magari sto per dire una cosa non vera; ma a me $[121]_R$ non sembra una classe di equivalenza, semplicemente perché la tua relazione è definita da un coppia mentre questa classe non lo è...
io ho pensato alle classi di equivalenza piuttosto come $ { (c,b) in ZZxZZ$ $| (c,d) R (a,b)}$; di conseguenza io credo che le classi di equivalenza siano infinite. Ma anche pensando $[121]_R$ come "risultato" della condizione della relazione appare impossibile poichè dovrebbe essere pari e non lo è.
Però ecco è solo un'idea veloce che mi son fatto
io ho pensato alle classi di equivalenza piuttosto come $ { (c,b) in ZZxZZ$ $| (c,d) R (a,b)}$; di conseguenza io credo che le classi di equivalenza siano infinite. Ma anche pensando $[121]_R$ come "risultato" della condizione della relazione appare impossibile poichè dovrebbe essere pari e non lo è.
Però ecco è solo un'idea veloce che mi son fatto
La classe $[121]_R$ non è niente altro che l'insieme degli elementi tali che, per esempio:
$3b-121\equiv 0(2)$
ovvero:
$3b\equiv 121 (2)$
$b\equiv 1 (2)$
Ovvero tutti i numeri dispari. Da osservare dunque che ci sono solo due classi di equivalenza, ovvero $[0]_R$ (tutti i pari) e $[1]_R$ (tutti i dispari).
$3b-121\equiv 0(2)$
ovvero:
$3b\equiv 121 (2)$
$b\equiv 1 (2)$
Ovvero tutti i numeri dispari. Da osservare dunque che ci sono solo due classi di equivalenza, ovvero $[0]_R$ (tutti i pari) e $[1]_R$ (tutti i dispari).
"mistake89":
Magari sto per dire una cosa non vera; ma a me $[121]_R$ non sembra una classe di equivalenza, semplicemente perché la tua relazione è definita da un coppia mentre questa classe non lo è...
io ho pensato alle classi di equivalenza piuttosto come $ { (c,b) in ZZxZZ$ $| (c,d) R (a,b)}$; di conseguenza io credo che le classi di equivalenza siano infinite. Ma anche pensando $[121]_R$ come "risultato" della condizione della relazione appare impossibile poichè dovrebbe essere pari e non lo è.
Però ecco è solo un'idea veloce che mi son fatto
Osserva che le relazioni sono sempre tra due (o più)elementi, ma il rappresentante della classe è necessariamente uno solo. Pensa alla costruzione dei numeri razionali e ti farai una idea
certo, ma essendo definito sul prodotto cartesiano credevo che servisse una coppia di rappresentanti...
ma ne sai sicuramente più di me e la mia idea era una "prova" diciamo così, quindi...
Grazie per la delucidazione
ma ne sai sicuramente più di me e la mia idea era una "prova" diciamo così, quindi...
Grazie per la delucidazione
Osserva anche questo, sia $rho$ una relazione, allora:
$rho={(a,b):a rho b}$
sia allora $[x]_rho = {(a,x): a rho x}$ oppure $[x]_rho = {(x,a): x rho a}$ che in fondo sono la stessa, vista la simmetria di $rho$.
La definizione è su due elementi, ma la classe è la naturale suddivisione del dominio (in questo caso $ZZ^2$)
P.S. la mia era un tentativo di farti capire, non una critica... le idee "intuive" sono la base per tutti questi studi, giuste o sbagliate che siano!
$rho={(a,b):a rho b}$
sia allora $[x]_rho = {(a,x): a rho x}$ oppure $[x]_rho = {(x,a): x rho a}$ che in fondo sono la stessa, vista la simmetria di $rho$.
La definizione è su due elementi, ma la classe è la naturale suddivisione del dominio (in questo caso $ZZ^2$)
P.S. la mia era un tentativo di farti capire, non una critica... le idee "intuive" sono la base per tutti questi studi, giuste o sbagliate che siano!
ora ho capito perfettamente, grazie mille!
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