Classe e segno di una permutazione
Salve! La classe e il segno di una permutazione sono sinonimi?
Risposte
"spode":
Salve! La classe e il segno di una permutazione sono sinonimi?
no, però la classe di una permutazione ti serve per il segno; la classe di una permutazione è la cardinalità dell'insieme delle sue inversioni, mentre il segno è una funzione che associa ad una permutazione un valore di \(\{1,-1\}\) a seconda se la permutazione è di classe pari o di classe dispari..
Grazie. Ma quando scrivi che
"il segno è una funzione che associa ad una permutazione un valore di {1,−1} a seconda se la permutazione è di classe pari o di classe dispari."
significa che trovi prima la classe e poi determini il segno. Mi potresti fare un esempio piccolo per favore?
"il segno è una funzione che associa ad una permutazione un valore di {1,−1} a seconda se la permutazione è di classe pari o di classe dispari."
significa che trovi prima la classe e poi determini il segno. Mi potresti fare un esempio piccolo per favore?
"spode":esatto, o almeno io faccio così. Ti faccio un esempio, prendiamo la permutazione \(\sigma:=\begin{pmatrix}
Grazie. Ma quando scrivi che
"il segno è una funzione che associa ad una permutazione un valore di {1,−1} a seconda se la permutazione è di classe pari o di classe dispari."
significa che trovi prima la classe e poi determini il segno. Mi potresti fare un esempio piccolo per favore?
1& 2 & 3& 4 \\
2& 1& 4& 3
\end{pmatrix} \in \mathcal{S}_4 \), l'insieme delle sue inversioni è \(\operatorname{inv}(f):=\{(1,2),(3,4)\}\), la cardinalità \(|\operatorname{inv}(f)| =2 \in 2\Bbb{N}\) ergo si dice che \( f \) è di classe pari (mentre se \(|\operatorname{inv}(f)|\in 2\Bbb{N}+1\) allora si dice che \(f \) è di classe dispari); per definizione di segno di una permutazione $$\operatorname{sgn}:\mathcal{S}_n\to\{1,-1\}, \;\operatorname{sgn}(\sigma)=\begin{cases} 1 & |\operatorname{inv}(f)|\in 2\Bbb{N}\\
-1&|\operatorname{inv}(f)|\in 2\Bbb{N} +1 \end{cases} $$ nel tuo caso avremo che \(\operatorname{sgn}(\sigma)=1\) poichè \(|\operatorname{inv}(f)| =2 \in 2\Bbb{N}\)
Posso chiedervi che libri o corso seguite perché il termine classe riferito alla parità di una permutazione mi è nuovo. Seppur i concetti collegati non lo sono affatto. Ho quindi l'impressione che non sia da considerarsi un termine così standard. Il termine classe, riferito alle permutazioni, mi fa infatti venire in mente più che altro le classi di coniugio (la cui importanza è enorme).
"vict85":ammetto io stesso che in molti testi si dice soltanto "permutazione pari" o "permutazione dispari", ma V.Pipitone (autore con Stoka dell'eserciziario) era solito complicarsi la vita dicendo "permutazione di classe pari" e "permutazione di classe dispari" a seconda del numero delle inversioni della permutazione; forse da come ho scritto non si capisce e chiedo scusa, egli usava il termine classe di una permutazione per riferirsi all'insieme delle sue inversioni, e la classe era pari (dispari) se la cardinalità di questo insieme era pari (dispari) (prima ho detto che la classe è la cardinalità dell'insieme delle inversioni tralasciando tale passaggio, pardon)... comunque non conosco le classe di coniugo quindi potrei aver frainteso lo scopo del post[nota]colpa di Pipitone però..
Posso chiedervi che libri o corso seguite perché il termine classe riferito alla parità di una permutazione mi è nuovo. Seppur i concetti collegati non lo sono affatto. Ho quindi l'impressione che non sia da considerarsi un termine così standard. Il termine classe, riferito alle permutazioni, mi fa infatti venire in mente più che altro le classi di coniugio (la cui importanza è enorme).
[/nota]... 
Ok, guarderò Stoka. Comunque, le classi di coniugio non sono altro che le classi di equivalenza rispetto alla coniugazione (o se preferisci rispetto agli automorfismi interni). La loro importanza, tra le varie cose, riguarda la teoria dei caratteri nella teoria delle rappresentazioni. Nel gruppo simmetrico coincide con la struttura ciclica.
Per certi versi quei due insiemi sono classi di equivalenza e/o classi laterali ma questi sono concetti più ampi. In genere sento usare più il termine parità ed è quasi un sinonimo di segno. Insomma la differenza è minima in quanto la parità si riferisce all'appartenenza o meno ad una delle due classi di equivalenza mentre il segno è l'immagine rispetto alla funzione che manda il gruppo in \(\{1,-1\}\). Tra l'altro la parità si può trovare molto facilmente a partire dalla struttura ciclica, infatti è uguale alla parità della somma degli ordini dei cicli (di ordine maggiore di 1) meno il numero di questi cicli.
Per certi versi quei due insiemi sono classi di equivalenza e/o classi laterali ma questi sono concetti più ampi. In genere sento usare più il termine parità ed è quasi un sinonimo di segno. Insomma la differenza è minima in quanto la parità si riferisce all'appartenenza o meno ad una delle due classi di equivalenza mentre il segno è l'immagine rispetto alla funzione che manda il gruppo in \(\{1,-1\}\). Tra l'altro la parità si può trovare molto facilmente a partire dalla struttura ciclica, infatti è uguale alla parità della somma degli ordini dei cicli (di ordine maggiore di 1) meno il numero di questi cicli.
Grazie per l'esempio. Scusate, ma dall'esempio si capisce che praticamente la classe è data dalla parità di N, dove N è dato dalla sommatoria delle lunghezze dei cicli meno 1; invece il segno sarà +1 se la classe è pari e -1 se la classe è dispari. Giusto?
Il problema è che è probabile ma che non lo so con esattezza perché è un termine poco comune. Dove studi? Studi su delle dispense?
No studio su libro (Artin). Il problema è che il professore neppure l'ha spiegato...
A che capitolo e paragrafo ti riferisci? Perché nella parte sulle matrici di permutazione non l'ho trovato.
Comunque se il tuo professore non l'ha spiegato allora probabilmente puoi anche dimenticarti il concetto stesso di classe relativamente alle permutazioni.
Comunque se il tuo professore non l'ha spiegato allora probabilmente puoi anche dimenticarti il concetto stesso di classe relativamente alle permutazioni.
bah...eppure lui stesso ha pronunciato queste cose. In effetti il professore ci ha dato diversi testi di riferimento, ma alla fine segue Artin, ahimè!
Vedo che mi dice lui. Lo contatto e faccio sapere! Grazie Vic85! =)
Vedo che mi dice lui. Lo contatto e faccio sapere! Grazie Vic85! =)
A quanto mi dicono i miei compagni di corso, se $ sigma $ è una permutazione,
N( $ sigma $ ) := $ sum(d _i -1) $
allora la parità di questo N( $ sigma $ ) è la parità della classe; se la classe è pari il segno è +1, altrimenti -1.
$ d_i $ indica la lunghezza di un ciclo della permutazione, cioè il numero dei suoi elementi.
N( $ sigma $ ) := $ sum(d _i -1) $
allora la parità di questo N( $ sigma $ ) è la parità della classe; se la classe è pari il segno è +1, altrimenti -1.
$ d_i $ indica la lunghezza di un ciclo della permutazione, cioè il numero dei suoi elementi.
Esistono molteplici formule. Quello a cui faceva riferimento garnak è collegato alla formula \(\displaystyle \mathrm{sgn}(\sigma) = \prod_{1\le i< j\le n} \frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j - i} \) che può assumere solo i valori \(\displaystyle \{-1,+1\} \).
In termini di azione di \(\displaystyle S_n \) su \(\displaystyle [n] = \{1,\dotsc, n\} \) la lunghezza dei cicli corrisponde alla dimensione delle orbite.
In ogni caso esistono approcci differenti (si può fare anche usando le presentazioni di \(S_n\)), ma sostanzialmente l'importante è avere ben chiaro che esiste il sottogruppo \(A_n\).
In termini di azione di \(\displaystyle S_n \) su \(\displaystyle [n] = \{1,\dotsc, n\} \) la lunghezza dei cicli corrisponde alla dimensione delle orbite.
In ogni caso esistono approcci differenti (si può fare anche usando le presentazioni di \(S_n\)), ma sostanzialmente l'importante è avere ben chiaro che esiste il sottogruppo \(A_n\).
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