Classe di nilpotenza di un prodotto intrecciato di gruppi ciclici
Salve a tutti,
a lezione è stato dimostrato che se $G$ è un $p$-gruppo isomorfo al prodotto $C_p\wr C_p=C_p^p\rtimes_{\varphi} C_p$, allora la sua classe di nilpotenza è proprio $p$.
Ciò equivale a dimostrare che il sottogruppo $\gamma_p(G)=G^p=[G, ..., G]$ non è ridotto alla singola identità, e fin qui ci sono. Si procede, quindi, nel verificare che un elemento in questo sottogruppo non è l'identità. Per costruirlo, si procede iterando i calcoli a partire da un elemento del tipo $[a, b]$ nel commutatore $[G,G]$.
Ora qui iniziano a sorgere i dubbi, perché, per prima cosa, mi chiedo quale sia l'omomorfismo $\varphi:C_p\to Aut(C_p^p)$ da scegliere per moltiplicare due elementi in $C_p^p\rtimes_{\varphi} C_p$, in modo da calcolare $[a,b]$, cioè quale azione di $C^p$ su $C_p^p$ scegliere. Poiché $C_p$ è ciclico, allora $C_p=\langle (1\ 2\...\p)\rangle$, perciò come azione ho considerato quella che permuta gli indici di un elemento $(a_1, ..., a_p)\in C_p^p$, cioè, se $g\in\langle (1\ 2\...\p)\rangle$, allora
\[
(a_1, ..., a_p)^g=(a_{g(1)}, ..., a_{g(p)}).
\]
Ora, posso moltiplicare due elementi $a$, $b$ di $G$ in questo modo:
\[
((a_1,..., a_p), g)((b_1,..., b_p),h)=((a_1, ..., a_p)(b_1, ..., b_p)^g, gh) \text{ }\text{ dove $g,h\in C_p$;}
\]
e quindi calcolarmi un qualsiasi commutatore $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$ utilizzando questo prodotto.
Nel calcolo del commutatore, il professore ha invece considerato un elemento $(a_1, ..., a_p)$ in $C_p^p$ (In particolare, l'elemento $(x, 1,...,1)$, dove $x$ è un generatore di $C_p$ ) e l'elemento $x$ in $C^p$, per poi calcolare
\[
[(x, 1,...,1), x]=(x, 1,...,1)^{-1}x^{-1}(x, 1,...,1)x=(x^{-1},1,...,1)(x,1...,1)^x=(x^{-1},1,...,1)(1,x,1,..,1)
\]
Ora, non capisco come abbia potuto moltiplicare tra loro due elementi che fanno parte di due gruppi diversi ($x$ e $(x,1,...,1)$ e come mai la presunta moltiplicazione $x^{-1}(x, 1,...,1)x$ si sia trasformata nell'azione di $x$ su $(x,1,...,1)$ dando come risultato $(1,x,1,..,1)$, che non coincide con l'azione definita prima da me.
Inoltre, mi sfugge come mai dal passare a calcolare $[G,G]$ si sia passati a calcolare una specie di commutatore tra $C_p^p$ e $C_p$. Perché? Perché questo procedimento funziona ai fini della dimostrazione?
Il mio ragionamento e il metodo del professore sono forse la stessa cosa? C'è qualche omomorfismo sotto che mi permette di porre l'attenzione sui gruppi separati $C_p^p$ e $C_p$ invece che sull'intero gruppo $G$?
Un enorme grazie a chi saprà darmi una mano
a lezione è stato dimostrato che se $G$ è un $p$-gruppo isomorfo al prodotto $C_p\wr C_p=C_p^p\rtimes_{\varphi} C_p$, allora la sua classe di nilpotenza è proprio $p$.
Ciò equivale a dimostrare che il sottogruppo $\gamma_p(G)=G^p=[G, ..., G]$ non è ridotto alla singola identità, e fin qui ci sono. Si procede, quindi, nel verificare che un elemento in questo sottogruppo non è l'identità. Per costruirlo, si procede iterando i calcoli a partire da un elemento del tipo $[a, b]$ nel commutatore $[G,G]$.
Ora qui iniziano a sorgere i dubbi, perché, per prima cosa, mi chiedo quale sia l'omomorfismo $\varphi:C_p\to Aut(C_p^p)$ da scegliere per moltiplicare due elementi in $C_p^p\rtimes_{\varphi} C_p$, in modo da calcolare $[a,b]$, cioè quale azione di $C^p$ su $C_p^p$ scegliere. Poiché $C_p$ è ciclico, allora $C_p=\langle (1\ 2\...\p)\rangle$, perciò come azione ho considerato quella che permuta gli indici di un elemento $(a_1, ..., a_p)\in C_p^p$, cioè, se $g\in\langle (1\ 2\...\p)\rangle$, allora
\[
(a_1, ..., a_p)^g=(a_{g(1)}, ..., a_{g(p)}).
\]
Ora, posso moltiplicare due elementi $a$, $b$ di $G$ in questo modo:
\[
((a_1,..., a_p), g)((b_1,..., b_p),h)=((a_1, ..., a_p)(b_1, ..., b_p)^g, gh) \text{ }\text{ dove $g,h\in C_p$;}
\]
e quindi calcolarmi un qualsiasi commutatore $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$ utilizzando questo prodotto.
Nel calcolo del commutatore, il professore ha invece considerato un elemento $(a_1, ..., a_p)$ in $C_p^p$ (In particolare, l'elemento $(x, 1,...,1)$, dove $x$ è un generatore di $C_p$ ) e l'elemento $x$ in $C^p$, per poi calcolare
\[
[(x, 1,...,1), x]=(x, 1,...,1)^{-1}x^{-1}(x, 1,...,1)x=(x^{-1},1,...,1)(x,1...,1)^x=(x^{-1},1,...,1)(1,x,1,..,1)
\]
Ora, non capisco come abbia potuto moltiplicare tra loro due elementi che fanno parte di due gruppi diversi ($x$ e $(x,1,...,1)$ e come mai la presunta moltiplicazione $x^{-1}(x, 1,...,1)x$ si sia trasformata nell'azione di $x$ su $(x,1,...,1)$ dando come risultato $(1,x,1,..,1)$, che non coincide con l'azione definita prima da me.
Inoltre, mi sfugge come mai dal passare a calcolare $[G,G]$ si sia passati a calcolare una specie di commutatore tra $C_p^p$ e $C_p$. Perché? Perché questo procedimento funziona ai fini della dimostrazione?
Il mio ragionamento e il metodo del professore sono forse la stessa cosa? C'è qualche omomorfismo sotto che mi permette di porre l'attenzione sui gruppi separati $C_p^p$ e $C_p$ invece che sull'intero gruppo $G$?
Un enorme grazie a chi saprà darmi una mano
Risposte
Purtroppo non capisco tutte le tue domande, ciò è in parte dovuto probabilmente al fatto che non sono ben poste.
Parto dalla prima, dato che la capisco
Il gruppo $G$ è del tipo [tex]V \rtimes H[/tex] dove $V = C_p^p$ e $H = C_p$. Adesso perché il gruppo $G$ (che è un prodotto semidiretto) sia ben definito bisogna dire come $H$ agisce su $V$. Come hai giustamente detto l'elemento $x = (1 2 ... p)$ di $H$ agisce su $(x_1,...x_p) \in C_p^p$ shiftando tutto di uno a destra ciclicamente. Questo significa che $(x_1,...,x_p)^x = (x_p,x_1,...,x_{p-1})$.
Ho usato la notazione $a^b$ per significare $b^{-1}ab$. Questo è perché l'azione di $H$ su $V$ quando vista in $G$ diventa un'azione di coniugio (è per questo che si introduce il prodotto semidiretto: per trasformare una qualsiasi azione in un'azione di coniugio!).
Il significato di $[(x,1,...,1),x]$ è il seguente: tu hai l'elemento $g = (x,1,...,1)$ e vuoi fare il commutatore $[g,x]$ dove $x = (1 ... p)$ è un elemento di $H$. La definizione di commutatore è $[g,x] = g^{-1}x^{-1}gx$ e questo lo puoi scrivere come $g^{-1} g^x$. Come abbiamo detto, l'azione di $x$ su $V$ è data dallo shift, quindi siccome $g = (x,1,...,1)$ si ha $g^x = (1,x,1,...,1)$. Ne segue che $g^{-1} g^x = (x^{-1},1,...,1) (1,x,1,...,1) = (x^{-1},x,1,...,1)$. Fin qui ci sei?
L'idea è che il simbolo $x$ indica sempre il $p$-ciclo $(1...p)$ ma $(x,1,...,1)$ è un elemento di $V$ mentre $x$ quando appartiene a $H$ va pensato come una permutazione degli indici (osserva che ogni elemento di $G$ ha unica espressione $vh$ dove $v in V$ e $h in H$, quindi quando per esempio scrivo $(x,1,...,1)x$ mi sto riferendo a questa unica espressione, dove $v = (x,1,...,1)$ e $h=x$, è un prodotto in $G$, non in $V$ o in $H$). Se ti crea confusione pensa che è semplicemente la definizione di prodotto in $G$, $(va)(wb) = vw^{a^{-1}} ab$.
Come dicevo le altre domande che fai non le capisco. L'idea della dimostrazione è costruire un elemento di $[G,...,G]$ diverso dall'identità, e questa costruzione comincia con $[(x,1,...,1),x]$. Poi immagino che si farà il commutatore $[[(x,1,...,1),x],x]$ e così via. Questo processo finirà con un elemento non banale di $[G,...,G]$, che a occhio sarà $(x,x,...,x)$.
Parto dalla prima, dato che la capisco
Il gruppo $G$ è del tipo [tex]V \rtimes H[/tex] dove $V = C_p^p$ e $H = C_p$. Adesso perché il gruppo $G$ (che è un prodotto semidiretto) sia ben definito bisogna dire come $H$ agisce su $V$. Come hai giustamente detto l'elemento $x = (1 2 ... p)$ di $H$ agisce su $(x_1,...x_p) \in C_p^p$ shiftando tutto di uno a destra ciclicamente. Questo significa che $(x_1,...,x_p)^x = (x_p,x_1,...,x_{p-1})$.Ho usato la notazione $a^b$ per significare $b^{-1}ab$. Questo è perché l'azione di $H$ su $V$ quando vista in $G$ diventa un'azione di coniugio (è per questo che si introduce il prodotto semidiretto: per trasformare una qualsiasi azione in un'azione di coniugio!).
Il significato di $[(x,1,...,1),x]$ è il seguente: tu hai l'elemento $g = (x,1,...,1)$ e vuoi fare il commutatore $[g,x]$ dove $x = (1 ... p)$ è un elemento di $H$. La definizione di commutatore è $[g,x] = g^{-1}x^{-1}gx$ e questo lo puoi scrivere come $g^{-1} g^x$. Come abbiamo detto, l'azione di $x$ su $V$ è data dallo shift, quindi siccome $g = (x,1,...,1)$ si ha $g^x = (1,x,1,...,1)$. Ne segue che $g^{-1} g^x = (x^{-1},1,...,1) (1,x,1,...,1) = (x^{-1},x,1,...,1)$. Fin qui ci sei?
L'idea è che il simbolo $x$ indica sempre il $p$-ciclo $(1...p)$ ma $(x,1,...,1)$ è un elemento di $V$ mentre $x$ quando appartiene a $H$ va pensato come una permutazione degli indici (osserva che ogni elemento di $G$ ha unica espressione $vh$ dove $v in V$ e $h in H$, quindi quando per esempio scrivo $(x,1,...,1)x$ mi sto riferendo a questa unica espressione, dove $v = (x,1,...,1)$ e $h=x$, è un prodotto in $G$, non in $V$ o in $H$). Se ti crea confusione pensa che è semplicemente la definizione di prodotto in $G$, $(va)(wb) = vw^{a^{-1}} ab$.
Come dicevo le altre domande che fai non le capisco. L'idea della dimostrazione è costruire un elemento di $[G,...,G]$ diverso dall'identità, e questa costruzione comincia con $[(x,1,...,1),x]$. Poi immagino che si farà il commutatore $[[(x,1,...,1),x],x]$ e così via. Questo processo finirà con un elemento non banale di $[G,...,G]$, che a occhio sarà $(x,x,...,x)$.
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