Classe di equivalenza

[nello_1981]

Ciao a tutti, ho un problemino con le classi di equivalenza, ho già visto qualche esempio fatto ma non ho trovato la soluzione a questo esercizio:

Sia S = N/{0, 1}. Per ogni k $\in$ N# si ponga Sk = {n $\in$ S | n è diviso da esattamente k primi positivi distinti}
(ad esempio, 8 $\in$ S1, 500 $\in$ S2).
(i) Verificare che F := {Sk | k $\in$ N#} è una partizione di S.
(ii) Esiste una relazione di equivalenza R in S tale che F = S/R?
(iii) In caso affermativo, descrivere la classe di equivalenza di 210 rispetto a tale relazione R.

(i)
(a) per il "teorema fondamentale dell'aritmetica" (ogni numero intero s $\ne$ 0 e s $\ne$ $\pm$ 1 è prodotto di
numeri primi) allora Sk $\ne$ $\emptyset$ con Sk $\in$ F
(b) gli elementi di Sk non potranno mai essere uguali perchè divisibili per un numero diverso di numeri primi
quindi $\cup$ Sk = S
(c) essendo diversi gli elementi in ogni diverso Sk allora Sk1 $\ne$ Sk2 pertanto Sk1 $\cap$ Sk2 = $\emptyset$
$\forall$ k1, k2 $\in$ N#
Quindi è dimostrato che F è partizione di S

(ii)
(riflessività) per la definizione di partizione si ha che esiste X $\in$ F tale che s $\in$ X. Se abbiamo s $\in$ X e s $\in$ X
allora sRs
(simmetria) siano s1 $\in$ S e s2 $\in$ S. Se s1Rs2, s1 $\in$ X e s2 $\in$ X allora s2Rs1
(transitività) siano s1, s2 ed s3 $\in$ S allora esiste X $\in$ F tale che s1 $\in$ X ed s2 $\in$ X ed esiste una Y $\in$ F
tale che s2 $\in$ Y e s3 $\in$ Y; essendo F una partizione allora s2 $\in$ X $\cap$ Y $\ne$ $\emptyset$
quindi X = Y pertanto s1Rs3
Dimostrato che esiste una relazione d'equivalenza...
(a) dato che sRs $\forall$ s $\in$ S allora s $\in$ R e quindi ogni elemento R contiene se stesso, cioè non è vuoto
(b) dato che R $\subseteq$ S $\forall$ s $\in$ S allora $\cup$ X $\subseteq$ S.
Se x $\in$ S allora x $\in$ [x]R pertanto x $\in$ $\cup$ R
(c) essendo s1 $\in$ [s1]R allora [s1]R $\ne \emptyset$ ;se [s1]R = [s2]R allora [s1]R $\cap$ [s2]R = [s1]R $\ne \emptyset$
Dimostrato che l'insieme quoziente di S (S/R) è una partizione...

Ora mi perdo in un bicchier d'acqua:
(iii)
Non ho la minima idea della classe di equivalenza di 210...m'era venuta un'idea del tipo [210]R = {2, 3, 5, 7},
ma non ne sono per niente convinto help me!

Grazie anticipatamente

[garnak.olegovitc1]

Salve nello_1981,
hai 32 messaggi ed ancora non scrivi con apposita codifica voluta dal forum... (clic)
viewtopic.php?f=18&t=26179
Fai uno sforzo!
Cordiali saluti

[nello_1981]

Ciao garnak.olegovitc, ma per giusta codifica intendi Math ML, giusto?
Chiedo scusa per non aver seguito le regole, ma vi assicuro che lo sforzo ce l'ho messo
Ci son simboli che non si possono effettivamente esprimere se non utilizzando la codifica MathML e mi son dovuto ripetere il tutto non avendo scritto da un pò di tempo.
Quello che che intendevi è che dovevo scrivere la parte colle formule nel riquadro in basso?
Tipo così:
$ S = N-{0, 1},forall k ∈ N# rArr Sk = {n ∈ S | text{n è diviso da esattamente k primi positivi distinti}}$
$text{(i) Verificare che} F = {Sk | k ∈ N#} text{è una partizione di S}$
$text{(ii) Esiste una relazione di equivalenza R in S} : F = S|R ?$
$text{(iii) In caso affermativo, descrivere la classe di equivalenza di 210 rispetto a tale relazione R} $