Chiusura algebrica della chiusura algebrica

[doppio1]

Sia K un campo $\subset mathbb{C}$ e $\bar{K}$ la sua chiusura algebrica su $\mathbb{C}$. Dimostrare che:
1) se $a$ è algebrico su $\bar{K}$, allora $a \in \bar{K}$.
2) se $f(x) \in \bar{K}[x]$ è un polinomio, allora $f(x)$ si spezza su $\bar{K}$ in fattori lineari.
La due segue velocemente dalla uno (che è l'esercizio). Ho provato a fare la uno cercando di dimostrare che il grado di $\bar{K}(a)$ su $\bar{K}$ è uno. Avete qualche hint?

[vict85]

Sia $p$ il polinomio minimo di $a$ allora i coefficienti di $p$ sono algebrici su $K$. Siccome i coefficienti sono finiti esiste un campo intermedio in cui esiste $p$. Se $K_2$ è questo polinomio intermedio allora $K_2[a]$ è una estensione semplice di $K_2$ e quindi è una estensione (di grado finito) di $K$...

[doppio1]

... ma allora $K_2[a]$ è una estensione algebrica di $K$, ed in particolare a è algebrico su K. Penso sia ok... grazie!