Chiusura algebrica
Sono alle prese con una dimostrazione...
Sia $K$ un campo di numeri e $bar K$ la sua chiusura algebrica su $CC$. Dimostrare che:
Se $a in CC$ è algebrico su $bar K$ allora $a in bar K$.
Allora, innanzitutto $bar K={a in CC$ tali che $a$ è algebrico su $k }$ ed è la più piccola estensione algebrica di $K$ che sia algebricamente chiusa, giusto?
Allora se $a$ è algebrico su $bar K$ esiste un polinomio a coefficienti in $bar K[x]$ che ha come radice $a$, ma essendo $bar K$ un campo algebricamente chiuso ogni polinomio a coefficienti in $bar K[x] $ ha una radice in $bar K$, quindi $a in bar K$.
Non credo che sia la dimostrazione giusta perchè non è detto che la radice del polinomio in questione sia proprio $a$...
Sia $K$ un campo di numeri e $bar K$ la sua chiusura algebrica su $CC$. Dimostrare che:
Se $a in CC$ è algebrico su $bar K$ allora $a in bar K$.
Allora, innanzitutto $bar K={a in CC$ tali che $a$ è algebrico su $k }$ ed è la più piccola estensione algebrica di $K$ che sia algebricamente chiusa, giusto?
Allora se $a$ è algebrico su $bar K$ esiste un polinomio a coefficienti in $bar K[x]$ che ha come radice $a$, ma essendo $bar K$ un campo algebricamente chiuso ogni polinomio a coefficienti in $bar K[x] $ ha una radice in $bar K$, quindi $a in bar K$.
Non credo che sia la dimostrazione giusta perchè non è detto che la radice del polinomio in questione sia proprio $a$...
Risposte
Credo che lo scopo di questo esercizio sia proprio provare che la chiusura algebrica di un campo è algebricamente chiusa! Quindi non credo sia permesso utilizzare questo fatto.
Però se [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]F[/tex] e [tex]F[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex] allora [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex], no? Possiamo quindi considerare [tex]\overline{K}[a][/tex]... riesci a concludere?
edit: in effetti, se potessi effettivamente utilizzare il fatto che la chiusura algebrica di un campo è algebricamente chiusa, l'esercizio sarebbe praticamente finito: infatti, un campo è algebricamente chiuso se e solo se non ammette estensioni algebriche proprie e quindi, essendo [tex]\overline{K}[a][/tex] un'estensione algebrica, dovrebbe seguire [tex]\overline{K}[a] \subseteq \overline{K}[/tex] da cui [tex]a \in \overline{K}[/tex].
Però se [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]F[/tex] e [tex]F[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex] allora [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex], no? Possiamo quindi considerare [tex]\overline{K}[a][/tex]... riesci a concludere?
edit: in effetti, se potessi effettivamente utilizzare il fatto che la chiusura algebrica di un campo è algebricamente chiusa, l'esercizio sarebbe praticamente finito: infatti, un campo è algebricamente chiuso se e solo se non ammette estensioni algebriche proprie e quindi, essendo [tex]\overline{K}[a][/tex] un'estensione algebrica, dovrebbe seguire [tex]\overline{K}[a] \subseteq \overline{K}[/tex] da cui [tex]a \in \overline{K}[/tex].
temo che io e l'algebra viviamo proprio su due pianeti diversi...
suppongo che nel mio caso si abbia $bar K$ estensione algebrica di $K$ e $CC$ estensione algebrica di $bar K$, quindi $CC$ estensione algebrica di $K$ ?
Ne ricavo qualcosa dalla dimostrazione del teorema, ma da qui a capirlo ne passa..
Sia $a in CC$. Dato che $a$ è algebrico su $bar K$ (perchè è scontato??) si ha che
$sum_{i=0}^m \alpha_i*a^i=0$ per opportuni $\alpha_i in bar K$ e non tutti nulli.
Poichè gli $\alpha_i$ sono algebrici su $K$ (perchè???) la dimensione di $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ è finita (per un altro teorema).
Se aggiungiamo $a$ a $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ risulta per un altro teorema:
$[K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K] = [K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K(\alpha_1,...,\alpha_m)] [K(\alpha_1,...,\alpha_m) :K]
Dato che $a$ è algebrico su $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ (perchè???) allora il primo fattore del secondo membro ha dimensione finita. Il secondo fattore del secondo membro abbiamo già visto che ha dimensione finita.
Ne segue che $[K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K]$ è finita, quindi $a$ appartiene ad un'estensione finita $K$ e di conseguenza è algebrico su $K$ ovvero $a in bar K$.
suppongo che nel mio caso si abbia $bar K$ estensione algebrica di $K$ e $CC$ estensione algebrica di $bar K$, quindi $CC$ estensione algebrica di $K$ ?
Ne ricavo qualcosa dalla dimostrazione del teorema, ma da qui a capirlo ne passa..
Sia $a in CC$. Dato che $a$ è algebrico su $bar K$ (perchè è scontato??) si ha che
$sum_{i=0}^m \alpha_i*a^i=0$ per opportuni $\alpha_i in bar K$ e non tutti nulli.
Poichè gli $\alpha_i$ sono algebrici su $K$ (perchè???) la dimensione di $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ è finita (per un altro teorema).
Se aggiungiamo $a$ a $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ risulta per un altro teorema:
$[K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K] = [K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K(\alpha_1,...,\alpha_m)] [K(\alpha_1,...,\alpha_m) :K]
Dato che $a$ è algebrico su $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ (perchè???) allora il primo fattore del secondo membro ha dimensione finita. Il secondo fattore del secondo membro abbiamo già visto che ha dimensione finita.
Ne segue che $[K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K]$ è finita, quindi $a$ appartiene ad un'estensione finita $K$ e di conseguenza è algebrico su $K$ ovvero $a in bar K$.
No. Aspetta. Procediamo con più calma.
Prima finiamo il discorso che abbiamo iniziato relativo all'esercizio, poi parliamo dei tuoi dubbi sulla dimostrazione.
Il mio ragionamento era molto più semplice: dal momento che, per ipotesi [tex]a\in \mathbb{C}[/tex] è algebrico su [tex]\overline{K}[/tex] (leggi il testo dell'esercizio), allora [tex]\overline{K}[a][/tex] è un'estensione algebrica di [tex]\overline{K}[/tex]. Riesci a dimostrare questa mia affermazione? Ti ricordo che un'estensione di un campo [tex]F[/tex] è detta algebrica se ogni suo elemento è algebrico sul campo [tex]F[/tex].
Procedendo con il ragionamento, [tex]\overline{K}[a][/tex] è algebrico su [tex]\overline{K}[/tex] e questo è algebrico su [tex]K[/tex] (per definizione di chiusura algebrica). Ma allora [tex]\overline{K}[a][/tex] è algebrico su [tex]K[/tex] e quindi, in particolare [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]K[/tex]. Ora, per come hai definito [tex]\overline{K}[/tex] (l'insieme degli elementi algebrici su [tex]K[/tex]), deve essere [tex]a \in \overline{K}[/tex], da cui la tesi.
Fin qui ci sei?
Prima finiamo il discorso che abbiamo iniziato relativo all'esercizio, poi parliamo dei tuoi dubbi sulla dimostrazione.
Il mio ragionamento era molto più semplice: dal momento che, per ipotesi [tex]a\in \mathbb{C}[/tex] è algebrico su [tex]\overline{K}[/tex] (leggi il testo dell'esercizio), allora [tex]\overline{K}[a][/tex] è un'estensione algebrica di [tex]\overline{K}[/tex]. Riesci a dimostrare questa mia affermazione? Ti ricordo che un'estensione di un campo [tex]F[/tex] è detta algebrica se ogni suo elemento è algebrico sul campo [tex]F[/tex].
Procedendo con il ragionamento, [tex]\overline{K}[a][/tex] è algebrico su [tex]\overline{K}[/tex] e questo è algebrico su [tex]K[/tex] (per definizione di chiusura algebrica). Ma allora [tex]\overline{K}[a][/tex] è algebrico su [tex]K[/tex] e quindi, in particolare [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]K[/tex]. Ora, per come hai definito [tex]\overline{K}[/tex] (l'insieme degli elementi algebrici su [tex]K[/tex]), deve essere [tex]a \in \overline{K}[/tex], da cui la tesi.
Fin qui ci sei?
Allora, se $a$ è algebrico su $bar K$ abbiamo che $bar K(a)=bar K[a]$, per dimostrare la tua affermazione dovrei dimostrare che ogni elemento di $bar K[a]$ è algebrico su $bar K$, giusto?
$bar K[a]$ contiene tutti i polinomi in $a$ a coefficienti in $bar K$ ovvero a coefficienti algebrici su $K$ perchè $bar K$ contiene elementi di $CC$ algebrici su $K$.
Quindi gli elementi di $bar K(a)$ sono dei polinomi, come dimostro che sono algebrici?
Ho una gran confusione...
$bar K[a]$ contiene tutti i polinomi in $a$ a coefficienti in $bar K$ ovvero a coefficienti algebrici su $K$ perchè $bar K$ contiene elementi di $CC$ algebrici su $K$.
Quindi gli elementi di $bar K(a)$ sono dei polinomi, come dimostro che sono algebrici?
Ho una gran confusione...
Mi dispiace doverlo dire, ma hai proprio un po' di confusione in testa.
Ripartiamo da zero.
Consideriamo un campo [tex]F[/tex] e sia [tex]L[/tex] una sua estensione. Prendiamo [tex]a \in L[/tex]. Se ti ricordi, l'estensione [tex]F(a)[/tex] ha grado finito se e solo se [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]F[/tex], mentre ha grado infinito se e solo se [tex]a[/tex] è trascendente su [tex]F[/tex].
Di questo sei convinta, oppure hai dei dubbi nella dimostrazione?
Ripartiamo da zero.
Consideriamo un campo [tex]F[/tex] e sia [tex]L[/tex] una sua estensione. Prendiamo [tex]a \in L[/tex]. Se ti ricordi, l'estensione [tex]F(a)[/tex] ha grado finito se e solo se [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]F[/tex], mentre ha grado infinito se e solo se [tex]a[/tex] è trascendente su [tex]F[/tex].
Di questo sei convinta, oppure hai dei dubbi nella dimostrazione?
fin qui ci dovrei essere...
Il fatto è che magari riesco a capire i singoli pezzi ma poi non riesco a metterli insieme, vado in confusione...
Il fatto è che magari riesco a capire i singoli pezzi ma poi non riesco a metterli insieme, vado in confusione...
Ok. Adesso non dovrebbe essere difficile:
Esercizio. Sia [tex]K[/tex] un campo e sia [tex]L[/tex] una sua estensione finita. Dimostrare che [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica.
Esercizio. Sia [tex]K[/tex] un campo e sia [tex]L[/tex] una sua estensione finita. Dimostrare che [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica.
Io mi sarei complicata molto di più la vita per arrivare alla stessa conclusione...
Non riesco a rendermi le cose semplici, banalmente non avevo pensato che in questo caso ogni elemento di $K(a)$ è contenuto in $L$...
Quindi $a$ è algebrico su $K$ ed essendo valido per ogni $a in L$ si ha che $L$ è un'estensione algebrica di $K$.
Quindi tornando al discorso di prima "dal momento che $a in CC$ per ipotesi è algebrico su $bar K$, allora $bar K(a)$ è un'estensione algebrica di $K$"
Dimostrazione:
$a$ algebrico su $bar K$ implica che $bar K(a)$ abbia grado finito e sopra abbiamo appena dimostrato che se $bar K(a)$ è un'estensione di $bar K$ finita allora è anche un'estensione di $bar k$ algebrica.
Corretto?
Non riesco a rendermi le cose semplici, banalmente non avevo pensato che in questo caso ogni elemento di $K(a)$ è contenuto in $L$...
Quindi $a$ è algebrico su $K$ ed essendo valido per ogni $a in L$ si ha che $L$ è un'estensione algebrica di $K$.
Quindi tornando al discorso di prima "dal momento che $a in CC$ per ipotesi è algebrico su $bar K$, allora $bar K(a)$ è un'estensione algebrica di $K$"
Dimostrazione:
$a$ algebrico su $bar K$ implica che $bar K(a)$ abbia grado finito e sopra abbiamo appena dimostrato che se $bar K(a)$ è un'estensione di $bar K$ finita allora è anche un'estensione di $bar k$ algebrica.
Corretto?
Sì. Ma per concludere devi ancora osservare che un'estensione algebrica di un'estensione algebrica è ancora un'estensione algebrica del campo iniziale (quello che ho scritto due o tre post fa). Così [tex]\overline{K}(a)[/tex] estensione algebrica di [tex]\overline{K}[/tex] e [tex]\overline{K}[/tex] estensione algebrica di [tex]K[/tex] implica che [tex]\overline{K}(a)[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex], ossia [tex]a[/tex] è algebrico su [tex]K[/tex], ossia [tex]a \in \overline{K}[/tex].
Adesso proviamo a smontarlo pezzo per pezzo. Secondo me la confusione che hai in testa è legata a questa tua affermazione. Nel senso, a me sembra sempre di non conoscere una teoria fintanto che non ne ho assimilato le dimostrazioni (non imparato a memoria, proprio capite passaggio per passaggio).
Innanzi tutto le ipotesi. Sono sempre la prima cosa da soppesare di un teorema. Noi vogliamo dimostrare che se [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]F[/tex] e [tex]F[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex], allora [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex]. Riscriviamo: sia $a \in L$. Allora $a$ è algebrico su $F$. Questo è scontato perché una diretta conseguenza delle ipotesi.
Adesso gli [tex]\alpha_i[/tex] sono elementi di [tex]F[/tex] e quindi sono algebrici su [tex]K[/tex]. Anche questo è scontato, perché per ipotesi [tex]F[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex] (e quindi ogni suo elemento è algebrico su K). Sul fatto che la dimensione di un'estensione fatta aggiungendo un numero finito di elementi algebrici sia finita, sei d'accordo?
Intanto, gli [tex]\alpha_i[/tex] partono da [tex]i = 0[/tex]...
Ti segnalo un errore concettuale (che però è importante: nelle dimostrazioni è fondamentale l'ordine con cui si susseguono le osservazioni!): devi prima controllare che la dimensione di [tex]K(\alpha_1,\ldots, \alpha_m)(a)[/tex] sia finita su [tex]K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)[/tex] e poi puoi applicare la formula per il calcolo della dimensione delle estensioni composte.
$a$ è algebrico su [tex]K(\alpha_0, \ldots, \alpha_m)[/tex] perché in [tex]K(\alpha_0,\ldots,\alpha_m)[/tex] è possibile considerare il polinomio [tex]\alpha_0 + \alpha_1 X + \ldots + \alpha_m X^m[/tex], di cui [tex]a[/tex] è radice.
Qui si conclude. Sei più convinta, adesso?
Una domanda: tu hai scritto
e io ti dico che è sbagliato. Sapresti giustificare questa mia affermazione? (cioè, sapresti trovare un esempio in cui quello che dici non è vero?)
E' più semplice di quello che pensi. Se hai il Piacentini Cattaneo (mi sembra che tu abbia detto di averlo mandato a prendere), parla esplicitamente da qualche parte del campo a cui sto pensando io.
"manuxy84":
Ne ricavo qualcosa dalla dimostrazione del teorema, ma da qui a capirlo ne passa..
Adesso proviamo a smontarlo pezzo per pezzo. Secondo me la confusione che hai in testa è legata a questa tua affermazione. Nel senso, a me sembra sempre di non conoscere una teoria fintanto che non ne ho assimilato le dimostrazioni (non imparato a memoria, proprio capite passaggio per passaggio).
"manuxy84":
Sia $a in CC$. Dato che $a$ è algebrico su $bar K$ (perchè è scontato??) [...]
Innanzi tutto le ipotesi. Sono sempre la prima cosa da soppesare di un teorema. Noi vogliamo dimostrare che se [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]F[/tex] e [tex]F[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex], allora [tex]L[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex]. Riscriviamo: sia $a \in L$. Allora $a$ è algebrico su $F$. Questo è scontato perché una diretta conseguenza delle ipotesi.
"manuxy84":
si ha che $sum_{i=0}^m \alpha_i*a^i=0$ per opportuni $\alpha_i in bar K$ e non tutti nulli.
Poichè gli $\alpha_i$ sono algebrici su $K$ (perchè???) la dimensione di $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ è finita (per un altro teorema).
Adesso gli [tex]\alpha_i[/tex] sono elementi di [tex]F[/tex] e quindi sono algebrici su [tex]K[/tex]. Anche questo è scontato, perché per ipotesi [tex]F[/tex] è un'estensione algebrica di [tex]K[/tex] (e quindi ogni suo elemento è algebrico su K). Sul fatto che la dimensione di un'estensione fatta aggiungendo un numero finito di elementi algebrici sia finita, sei d'accordo?
"manuxy84":
Se aggiungiamo $a$ a $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ risulta per un altro teorema:
$[K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K] = [K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K(\alpha_1,...,\alpha_m)] [K(\alpha_1,...,\alpha_m) :K]
Dato che $a$ è algebrico su $K(\alpha_1,...,\alpha_m)$ (perchè???) allora il primo fattore del secondo membro ha dimensione finita. Il secondo fattore del secondo membro abbiamo già visto che ha dimensione finita.
Intanto, gli [tex]\alpha_i[/tex] partono da [tex]i = 0[/tex]...
Ti segnalo un errore concettuale (che però è importante: nelle dimostrazioni è fondamentale l'ordine con cui si susseguono le osservazioni!): devi prima controllare che la dimensione di [tex]K(\alpha_1,\ldots, \alpha_m)(a)[/tex] sia finita su [tex]K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)[/tex] e poi puoi applicare la formula per il calcolo della dimensione delle estensioni composte.
$a$ è algebrico su [tex]K(\alpha_0, \ldots, \alpha_m)[/tex] perché in [tex]K(\alpha_0,\ldots,\alpha_m)[/tex] è possibile considerare il polinomio [tex]\alpha_0 + \alpha_1 X + \ldots + \alpha_m X^m[/tex], di cui [tex]a[/tex] è radice.
"manuxy84":
Ne segue che $[K(\alpha_1,...,\alpha_m)(a) : K]$ è finita, quindi $a$ appartiene ad un'estensione finita $K$ e di conseguenza è algebrico su $K$ ovvero $a in bar K$.
Qui si conclude. Sei più convinta, adesso?
Una domanda: tu hai scritto
"manuxy84":
Sia $a in CC$. Dato che $a$ è algebrico su $bar K$ (perchè è scontato??) [...]
e io ti dico che è sbagliato. Sapresti giustificare questa mia affermazione? (cioè, sapresti trovare un esempio in cui quello che dici non è vero?)
E' più semplice di quello che pensi. Se hai il Piacentini Cattaneo (mi sembra che tu abbia detto di averlo mandato a prendere), parla esplicitamente da qualche parte del campo a cui sto pensando io.
Ok, ora tutto più chiaro.
Grazie ancora della tua pazienza!
Non credo invece di avere capito esattamente quello che mi chiedi: Sia $K$ un campo di numeri e $bar K$ la sua chiusura algebrica su $CC$, sia $a in CC$ devo trovare per quale campo $K$ non è valida l'affermazione "$a$ algebrico su $bar K$ ?
Grazie ancora della tua pazienza!
Non credo invece di avere capito esattamente quello che mi chiedi: Sia $K$ un campo di numeri e $bar K$ la sua chiusura algebrica su $CC$, sia $a in CC$ devo trovare per quale campo $K$ non è valida l'affermazione "$a$ algebrico su $bar K$ ?
Sì, esatto. Ferma restando la generalità dell'elemento $a$. Cioè devi trovare un campo algebricamente chiuso contenuto in $CC$ tale che $CC$ non sia una sua estensione algebrica.
Il campo in questione potrebbe essere l'insieme $A$ di tutti i numeri algebrici su $QQ$ ?
E' algebricamente chiuso perchè le radici di ogni polinomio appartenente ad $A[x]$ sono numeri appartenenti ad $A$, e $CC$ è una sua estensione, ma non un'estensione algebrica, infatti un qualsiasi numero irrazionale appartenente a $CC$ non è algebrico su $A$.
Spero di non avere scritto cose assurde...
E' algebricamente chiuso perchè le radici di ogni polinomio appartenente ad $A[x]$ sono numeri appartenenti ad $A$, e $CC$ è una sua estensione, ma non un'estensione algebrica, infatti un qualsiasi numero irrazionale appartenente a $CC$ non è algebrico su $A$.
Spero di non avere scritto cose assurde...
No, è giusto. E' proprio l'esempio a cui pensavo io 
Bene, ma non è finita qui....
Sono ormai la tua persecuzione
L'esercizio prevede una seconda parte:
Partendo sempre dalle ipotesi che $K$ è un campo di numeri e $bar K$ è la sua chiusura algebrica su $CC$, dimostrare che:
se $f(x) in bar K[x]$ è un polinomio, allora $f(x)$ si spezza su $bar K$ in fattori lineari.
Credo che il fatto che $f(x)$ si spezzi su $bar K$ in fattori lineari equivale a dire che tutte le radici di $f(x)$ appartengono a $bar K$: è questo che devo provare a dimostrare ?
Sono ormai la tua persecuzione
L'esercizio prevede una seconda parte:
Partendo sempre dalle ipotesi che $K$ è un campo di numeri e $bar K$ è la sua chiusura algebrica su $CC$, dimostrare che:
se $f(x) in bar K[x]$ è un polinomio, allora $f(x)$ si spezza su $bar K$ in fattori lineari.
Credo che il fatto che $f(x)$ si spezzi su $bar K$ in fattori lineari equivale a dire che tutte le radici di $f(x)$ appartengono a $bar K$: è questo che devo provare a dimostrare ?
Sì, ma l'hai praticamente già fatto risolvendo la parte precedente. Riesci a dirmi come?
Bè, i coefficienti di $f(x)$ sono numeri algebrici su $K$ e le radici di ogni polinomio a coefficienti algebrici sono numeri algebrici.
Quindi le radici di $f(x)$ sono ancora numeri algebrici su $K$, che per definizione appartengono a $bar K$.
Dunque abbiamo dimostrato che tutte le radici di $f(x)$ appartengono a $bar K$ ovvero $f(x)$ si spezza su $bar K$ in fattori lineari???
Quindi le radici di $f(x)$ sono ancora numeri algebrici su $K$, che per definizione appartengono a $bar K$.
Dunque abbiamo dimostrato che tutte le radici di $f(x)$ appartengono a $bar K$ ovvero $f(x)$ si spezza su $bar K$ in fattori lineari???
Sì, ma ancora una volta ti sei complicata la vita. Potevi farla più corta: se $a$ è una radice di un polinomio a coefficienti in $\overline{K}$, allora $a$ è algebrico su $\overline{K}$ e quindi, per il punto precedente, $a \in \overline{K}$.
Giusto....
sono proprio irrecuperabile... grazie mille.
sono proprio irrecuperabile... grazie mille.
Non buttarti giù 
Devi solo prenderci un po' la mano!
Devi solo prenderci un po' la mano!
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