Chiusura algebrica
Salve a tutti. Come posso dimostrare che \(\displaystyle \overline{\mathbb{K}}^\mathbb{L} \) chiusura algebrica di \(\displaystyle \mathbb{K} \subset \mathbb{L} \) campi sia effettivamente un campo?
Ho pensato di dimostrare prima che un'estensione algebrica \(\displaystyle \mathbb{K}[\alpha] \) (con $\alpha$ algebrico) sia campo, ricorrendo all'isomorfismo "canonico" di anelli $\mbox{VAL}_{\alpha}$ che mi porta ad avere \(\displaystyle \mathbb{K}[\alpha] \simeq \frac{\mathbb{K}[x]}{(f_o)} \), con $(f_o)$ polinomio minimo di $\alpha$.
Poi avrei voluto estendere la cosa per tutti gli algebrici, ad esempio per induzione: \(\displaystyle (\mathbb{K}[\alpha])[\beta] \) campo etc.
I problemi in cui incappo sono almeno due:
Ho pensato di dimostrare prima che un'estensione algebrica \(\displaystyle \mathbb{K}[\alpha] \) (con $\alpha$ algebrico) sia campo, ricorrendo all'isomorfismo "canonico" di anelli $\mbox{VAL}_{\alpha}$ che mi porta ad avere \(\displaystyle \mathbb{K}[\alpha] \simeq \frac{\mathbb{K}[x]}{(f_o)} \), con $(f_o)$ polinomio minimo di $\alpha$.
Poi avrei voluto estendere la cosa per tutti gli algebrici, ad esempio per induzione: \(\displaystyle (\mathbb{K}[\alpha])[\beta] \) campo etc.
I problemi in cui incappo sono almeno due:
- [*:p83gfsfb]$f_o$ dovrebbe essere irriducibile in \(\displaystyle \mathbb{K}[x] \), ma non riesco a provarlo;[/*:p83gfsfb]
[*:p83gfsfb]Se gli algebrici $\alpha$ da includere non sono finiti devo dire addio all'induzione.[/*:p83gfsfb]
[/list:u:p83gfsfb]
Forse ho fatto altri errori, forse ho la soluzione davanti agli occhi, ma per il momento non mi viene in mente nulla
Ma soprattutto, ha senso procedere in questa direzione?
Risposte
Dipende da cosa puoi usare. Per esempio per mostrare che è chiuso per la somma prendi $a,b$ nella chiusura algebrica e per mostrare che anche $a+b$ ci sta osservi che basta mostrare che $a+b$ ha grado finito, per farlo basta mostrare che $K[a,b]$ ha dimensione finita su $K$. Per questo puoi usare la formula dei gradi con $K \subset K[a] \subset K[a,b]$.
Penso di poter dimostrare che $dim_\mathbb{K} \mathbb{K}[\alpha] = deg(f_o)$, il che dovrebbe bastarmi.
Dal tuo post deduco (e ti ringrazio
) che convenga effettivamente dimostrare le proprietà di campo "alla vecchia maniera" (una per volta)!
Il polinomio minimo $f_o$ dovrebbe però comunque risultare irriducibile, e mi piacerebbe dimostrarlo indipendentemente dalla dimensione di $\mathbb{K}[\alpha]$.
In realtà sto cercando di colmare le lacune dei miei appunti da una breve introduzione alle estensioni di campi, quindi gli strumenti a mia disposizione sarebbero quelle che immagino essere le nozioni base di un corso di Algebra (teoria dei gruppi, anelli fattoriali, campi finiti...), per quanto lo svolgimento di programmi simili risulti comunque... arbitrario.
Dal tuo post deduco (e ti ringrazio
) che convenga effettivamente dimostrare le proprietà di campo "alla vecchia maniera" (una per volta)!Il polinomio minimo $f_o$ dovrebbe però comunque risultare irriducibile, e mi piacerebbe dimostrarlo indipendentemente dalla dimensione di $\mathbb{K}[\alpha]$.
In realtà sto cercando di colmare le lacune dei miei appunti da una breve introduzione alle estensioni di campi, quindi gli strumenti a mia disposizione sarebbero quelle che immagino essere le nozioni base di un corso di Algebra (teoria dei gruppi, anelli fattoriali, campi finiti...), per quanto lo svolgimento di programmi simili risulti comunque... arbitrario.
Se ho detto una cavolata è colpa dell'ora...
Se $\alpha \in \mathbb{K}$ allora il polinomio minimo sarà $f_{\alpha}(x)=x-\alpha$ che sappiamo essere irriducibile.
Supponiamo che $\alpha$ non appartenga a $\mathbb{K}$ e supponiamo per assurdo che $f_{\alpha}(x)$ sia riducibile cioè esistono $p(x),q(x) \in \mathbb{K}[x]$ di grado maggiore o uguale a 1 tali che $f_{\alpha}(x)=p(x)q(x)$ ma poiché $f_{\alpha}(\alpha)=0=p(\alpha)q(\alpha)$ allora $\alpha$ sarà una radice di almeno uno dei due polinomi $p(x)$ e $q(x)$, assurdo, perché $\deg(f_{\alpha}(x))>\deg(p(x))$ e $\deg(f_{\alpha}(x))>\deg(g(x))$ contro l'ipotesi che $f_{\alpha}(x)$ fosse minimo.
Se $\alpha \in \mathbb{K}$ allora il polinomio minimo sarà $f_{\alpha}(x)=x-\alpha$ che sappiamo essere irriducibile.
Supponiamo che $\alpha$ non appartenga a $\mathbb{K}$ e supponiamo per assurdo che $f_{\alpha}(x)$ sia riducibile cioè esistono $p(x),q(x) \in \mathbb{K}[x]$ di grado maggiore o uguale a 1 tali che $f_{\alpha}(x)=p(x)q(x)$ ma poiché $f_{\alpha}(\alpha)=0=p(\alpha)q(\alpha)$ allora $\alpha$ sarà una radice di almeno uno dei due polinomi $p(x)$ e $q(x)$, assurdo, perché $\deg(f_{\alpha}(x))>\deg(p(x))$ e $\deg(f_{\alpha}(x))>\deg(g(x))$ contro l'ipotesi che $f_{\alpha}(x)$ fosse minimo.
...non so come abbia fatto a sfuggirmi. Tanto più che ho usato la stessa ipotesi per dimostrare una tesi simile.
Vi ringrazio, ahah!
Vi ringrazio, ahah!
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