Chiarimento sulla costruzione di un campo finito
sia $F={0,1}$ il campo finito con 2 elementi e $f(x)=x^3+x+1$ un polinomio irriducibile su F. Devo costruire il campo finito con 8 elementi usando una radice $alpha$ di f(x).
io direi questo, vi chiedo di corregermi nelle parti sbagliate:
poichè f è irriducibile, allora esiste un campo E, estensione di F, in cui ci sono tutte le radici di f, e dunque anche $alpha$. Dunque f è il polinomio minimo di $alpha$ su F. per costruire questo campo costruisco cosi una estensione E di F in cui f ha una radice $alpha$. $E=F[alpha]={a_0+a_1alpha_1+aalpha_2^2: a_i in F}$
ora volevo fare questa domanda: perchè E è un campo????? perchè a me piacerebbe dire che, dato che E è un anello, allora per far vedere che è un campo mi manca da dimostrare la commutatività del prodotto, l'esistenza dell'elemento neutro e di quello inverso(cioè far vedere che ogni elemento di E diverso da zero ha un inverso).....ma non ho capito perchè E è un anello...
io direi questo, vi chiedo di corregermi nelle parti sbagliate:
poichè f è irriducibile, allora esiste un campo E, estensione di F, in cui ci sono tutte le radici di f, e dunque anche $alpha$. Dunque f è il polinomio minimo di $alpha$ su F. per costruire questo campo costruisco cosi una estensione E di F in cui f ha una radice $alpha$. $E=F[alpha]={a_0+a_1alpha_1+aalpha_2^2: a_i in F}$
ora volevo fare questa domanda: perchè E è un campo????? perchè a me piacerebbe dire che, dato che E è un anello, allora per far vedere che è un campo mi manca da dimostrare la commutatività del prodotto, l'esistenza dell'elemento neutro e di quello inverso(cioè far vedere che ogni elemento di E diverso da zero ha un inverso).....ma non ho capito perchè E è un anello...
Risposte
Ciao.
Capisco i tuoi dubbi, sono legittimi, soprattutto se queste sono le prime volte che maneggi queste strutture. Ad ogni modo, ci sono più modi per fare quello che chiedi.
1° modo. Come giustamente osservi, l'insieme $E$ contiene 8 elementi. Perchè non scriverli tutti esplicitamente? Non sono troppi. $0,1,\alpha, 1+alpha$ e via dicendo. Una volta elencati tutti e 8 gli elementi, puoi far vedere che quello è effettivamente un campo facendo tutte le verifiche (ma proprio tutte! Per ogni elemento trovi l'inverso; per ogni coppia di elementi fai vedere che il prodotto commuta etc).
D'accordo sono solo 8 elementi ma c'è già da venire vecchi abbastanza, non trovi?
2° modo (più furbo). Devi sapere bene i teoremi della teoria degli ideali e dei quozienti di anelli.
Anzitutto, quando tu hai un anello e quozienti per un ideale ottieni un anello (anzi, la definizione stessa di ideale "nasce" proprio per questo, cioè per "strutturare" il quoziente... Se ti viene comodo pensa all'analogia con i sottogruppi normali).
Di più, il tuo polinomio $f$ è irriducibile; quindi l'ideale principale da esso generato sarà massimale. E allora è fatta: c'è un bel teorema che dice che il quoziente di un anello per un suo ideale è un campo se e soltanto se l'ideale è massimale.
Questo ti basta per poter affermare che $E$ è un anello e, anzi, è un campo che estende $\mathbb{F}_2$ (perchè lo contiene).
Chiaro?
Capisco i tuoi dubbi, sono legittimi, soprattutto se queste sono le prime volte che maneggi queste strutture. Ad ogni modo, ci sono più modi per fare quello che chiedi.
1° modo. Come giustamente osservi, l'insieme $E$ contiene 8 elementi. Perchè non scriverli tutti esplicitamente? Non sono troppi. $0,1,\alpha, 1+alpha$ e via dicendo. Una volta elencati tutti e 8 gli elementi, puoi far vedere che quello è effettivamente un campo facendo tutte le verifiche (ma proprio tutte! Per ogni elemento trovi l'inverso; per ogni coppia di elementi fai vedere che il prodotto commuta etc).
D'accordo sono solo 8 elementi ma c'è già da venire vecchi abbastanza, non trovi?
2° modo (più furbo). Devi sapere bene i teoremi della teoria degli ideali e dei quozienti di anelli.
Anzitutto, quando tu hai un anello e quozienti per un ideale ottieni un anello (anzi, la definizione stessa di ideale "nasce" proprio per questo, cioè per "strutturare" il quoziente... Se ti viene comodo pensa all'analogia con i sottogruppi normali).
Di più, il tuo polinomio $f$ è irriducibile; quindi l'ideale principale da esso generato sarà massimale. E allora è fatta: c'è un bel teorema che dice che il quoziente di un anello per un suo ideale è un campo se e soltanto se l'ideale è massimale.
Questo ti basta per poter affermare che $E$ è un anello e, anzi, è un campo che estende $\mathbb{F}_2$ (perchè lo contiene).
Chiaro?
si un pò di più, adesso ci studierò meglio sopra 
però volevo chiedere un'altra cosa...se io volessi dimostrare in generale il fatto che ogni elemento di E diverso da zero è invertibile va bene fare cosi...
sia $g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$ un(o il?) polinomio non nullo tale che calcolato in $alpha$ mi dia un elemento di E(c'è un modo più elegante per dire questo???...che ne so, un polinomio che valutato in $alpha$ mi dia...non mi convince come lo scritto io)
allora calcolo il massimo comune divisore tra f(x) e g(x)...poichè f(x) è irriducibile, gli unici divisori sono 1 o f(x)...f(x) non può essere perchè, se lo fosse, f(x) dividerebbe g(x) e dunque $g(alpha)=0$ e questo non è possibile per come ho scelto g(x). dunque il M.C.D è 1, e l'algoritmo di euclide esteso mi fornisce $h(x),t(x) in F[x]$ tali che
$1=f(x)h(x)+g(x)t(x)$ ...ma giunti a questo punto cosa faccio...passo alle classi di congruenza modulo f(x)?? ma io sto lavorando in $F[alpha]$ e non in $(F[x])/f$...non so se è chiaro i mio dubbi, sparsi un pò qua un pò la
però volevo chiedere un'altra cosa...se io volessi dimostrare in generale il fatto che ogni elemento di E diverso da zero è invertibile va bene fare cosi...
sia $g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$ un(o il?) polinomio non nullo tale che calcolato in $alpha$ mi dia un elemento di E(c'è un modo più elegante per dire questo???...che ne so, un polinomio che valutato in $alpha$ mi dia...non mi convince come lo scritto io)
allora calcolo il massimo comune divisore tra f(x) e g(x)...poichè f(x) è irriducibile, gli unici divisori sono 1 o f(x)...f(x) non può essere perchè, se lo fosse, f(x) dividerebbe g(x) e dunque $g(alpha)=0$ e questo non è possibile per come ho scelto g(x). dunque il M.C.D è 1, e l'algoritmo di euclide esteso mi fornisce $h(x),t(x) in F[x]$ tali che
$1=f(x)h(x)+g(x)t(x)$ ...ma giunti a questo punto cosa faccio...passo alle classi di congruenza modulo f(x)?? ma io sto lavorando in $F[alpha]$ e non in $(F[x])/f$...non so se è chiaro i mio dubbi, sparsi un pò qua un pò la
"blabla":
Sia $g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$ un(o il?) polinomio non nullo tale che calcolato in $alpha$ mi dia un elemento di E(c'è un modo più elegante per dire questo???...che ne so, un polinomio che valutato in $alpha$ mi dia...non mi convince come lo scritto io)
Nel quoziente non ci sono polinomi, ma classi di equivalenza di polinomi. Puoi tranquillamente dire: "Sia $\overline{g(x)} \in E$..." (spesso la barra si omette, soprattutto a livello informale, ma è una cattiva abitudine).
"blabla":
Allora calcolo il massimo comune divisore tra f(x) e g(x)...poichè f(x) è irriducibile, gli unici divisori sono 1 o f(x)...f(x) non può essere perchè, se lo fosse, f(x) dividerebbe g(x) e dunque $g(alpha)=0$ e questo non è possibile per come ho scelto g(x). dunque il M.C.D è 1, e l'algoritmo di euclide esteso mi fornisce $h(x),t(x) in F[x]$ tali che
$1=f(x)h(x)+g(x)t(x)$ ...ma giunti a questo punto cosa faccio...passo alle classi di congruenza modulo f(x)?? ma io sto lavorando in $F[alpha]$ e non in $(F[x])/f$
Sì, esatto; se leggi quella uguaglianza modulo $f$ ottieni $1= g*t$, cioè $t$ è l'inverso che cercavi.
Ancora, se $f(x) \in \mathbb{F}[x]$ è un polinomio irriducibile e $\alpha$ è una sua radice (che ovviamente non può stare in $\mathbb{F}$... perché?) allora tra i campi $\mathbb{F}(\alpha)$ e $(\mathbb{F}[X])/((f(x)))$ c'è un isomorfismo. Quindi, detto alla buona, le due strutture sono "la stessa".
Ok? Se hai ancora dubbi scrivi pure.
P.S Un consiglio: se puoi, per piacere, scrivi in maniera un po' più ordinata, rispettando la punteggiatura e l'ortografia e usando, per quanto possibile, gli appositi compilatori per le formule. L'ordine è importante, soprattutto in Matematica: molto spesso una cosa anche molto semplice risulta, se scritta in modo caotico e disordinato, difficile da comprendere.
dunque, se ho capito bene,poichè c'è l'isomorfismo da te indicato, invece di leggere quell'uguaglianza modulo f, posso anche dire: valutando in $alpha$, ecc ecc...insomma è la stessa cosa..
ok
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