Chiarimento su esercizio induzione.
Ciao a tutti,
dall'esempio che scriverò ci sono alcuni passaggi poco chiari che indicherò. Potreste per cortesia aiutarmi? Grazie mille!
Ecco l'esempio che posto per intero per completezza:
Dimostriamo per induzione che $AA n \in NN\\{0}, \sum_{t=1}^n t*2^t = (n-1)*2^(n+1)+2$. L'uguaglianza è vera per $n=1$; supponiamola dunque vera per $h$ e dimostriamola per $h+1$. Risulta:
$\sum_{t=1}^(h+1) t*2^t = \sum_{t=1}^h t*2^t + (h+1)*2^(h+1) = (h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)=2^(h+1)*[(h-1) + (h+1)] + 2=2^(h+1)*2h+2=h*2^(h+2)+2=((h+1)-1)*2^(h+2)+2$.
è qui che non capisco.... da dove è uscito $(h-1)*2^(h+1)+2$?:
$(h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)$
presumo che poi capito questo passaggio il resto viene da se...
spero possiate aiutarmi.
grazie.
dall'esempio che scriverò ci sono alcuni passaggi poco chiari che indicherò. Potreste per cortesia aiutarmi? Grazie mille!
Ecco l'esempio che posto per intero per completezza:
Dimostriamo per induzione che $AA n \in NN\\{0}, \sum_{t=1}^n t*2^t = (n-1)*2^(n+1)+2$. L'uguaglianza è vera per $n=1$; supponiamola dunque vera per $h$ e dimostriamola per $h+1$. Risulta:
$\sum_{t=1}^(h+1) t*2^t = \sum_{t=1}^h t*2^t + (h+1)*2^(h+1) = (h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)=2^(h+1)*[(h-1) + (h+1)] + 2=2^(h+1)*2h+2=h*2^(h+2)+2=((h+1)-1)*2^(h+2)+2$.
è qui che non capisco.... da dove è uscito $(h-1)*2^(h+1)+2$?:
$(h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)$
presumo che poi capito questo passaggio il resto viene da se...
spero possiate aiutarmi.
grazie.
Risposte
l'espressione che non ti spieghi è stata sostituita alla sommatoria fino ad h per l'ipotesi induttiva. tu stai supponendo che la tesi sia vera per n=h e vuoi verificarla per n=h+1. è chiaro? ciao.
sì, ho capito cosa deve dimostrare e ho capito dove ha sostituito ma non ho capito come ha sotituto. Con quali passaggi ottengo quel risultato?
"cloe009":
Ciao a tutti,
dall'esempio che scriverò ci sono alcuni passaggi poco chiari che indicherò. Potreste per cortesia aiutarmi? Grazie mille!
Ecco l'esempio che posto per intero per completezza:
Dimostriamo per induzione che $AA n \in NN\\{0}, [\sum_{t=1}^n t*2^t = (n-1)*2^(n+1)+2]$. L'uguaglianza è vera per $n=1$; supponiamola dunque vera per $h$ e dimostriamola per $h+1$. Risulta:
$\sum_{t=1}^(h+1) t*2^t =[ \sum_{t=1}^h t*2^t ]+ {(h+1)*2^(h+1)}=$(*) $= [(h-1) * 2^(h+1)+2]+{(h+1)*2^(h+1)}=2^(h+1)*[(h-1) + (h+1)] + 2=2^(h+1)*2h+2=h*2^(h+2)+2=((h+1)-1)*2^(h+2)+2$.
è qui che non capisco.... da dove è uscito $(h-1)*2^(h+1)+2$?:
$(h-1) * 2^(h+1)+2+(h+1)*2^(h+1)$
presumo che poi capito questo passaggio il resto viene da se...
spero possiate aiutarmi.
grazie.
(*) la sommatoria di (h+1) termini è stata spezzata nella sommatoria dei primi h termini (tra parentesi quadre) e nell'ultimo termine (tra parentesi graffe) ed è stata sostituita la parentesi quadra con il termine immediatamente dopo l'asterisco, sempre tra parentesi quadre, in virtù dell'uguaglianza scritta nel testo (sempre tra parentesi quadre) con n al posto di h (l'uguaglianza con n=h, cioè con h al posto di n, è garantita dall'ipotesi induttiva. in questo passaggio non c'è veramente nulla da capire, a parte l'ipotesi induttiva. se invece fosse poco chiaro il passaggio successivo, fammi sapere.
ciao.
cazzarola... è vero. Ti ringrazio. Sì un ultimo dubbio lo trovo al penultimo passaggio.
Perchè la $h$ viene poi sostituita nella forma $((h+1)-1)$, a che scopo?
Perchè la $h$ viene poi sostituita nella forma $((h+1)-1)$, a che scopo?
perché in questo caso al posto di n hai h+1, quindi è per confrontarla con la formula generale, dove c'è n-1.
al limite, anche $2^(h+2)$ si sarebbe dovuto scrivere $2^((h+1)+1)$...
è chiaro? ciao.
al limite, anche $2^(h+2)$ si sarebbe dovuto scrivere $2^((h+1)+1)$...
è chiaro? ciao.
E' chiarissimo. Ti ringrazio per la chiara spiegazione e scusami per aver fatto domande con risposte ovvie... ma mi era sfuggito per davvero :+)
Grazie ancora!!
Grazie ancora!!
prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo