Chiarimento relazioni sugli ordinali

[miccio901]

Salve a tutti, vorrei un chiarimento sugli ordinali. Devo sostenere l'esame di fondamenti di matematica e sul libro di testo, nella parte che riguarda gli ordinali, ho spesso incontrato il concetto che esprime che la relazione del minore "<" coincide con la relazione di appartenenza "{ \displaystyle \in }" senza però spiegare il perchè. Visto che so di esami in cui il professore lo ha chiesto vorrei che qualcuno mi spiegasse il motivo di questa coincidenza. Grazie a tutti.

PS: non sono riuscito a far apparire il simbolo di appartenenza

[iDesmond]

Ciao, puoi fare un esempio concreto o riportare la parte scritta sulle dispense/libro?

PS per fare il simbolo $ \in $ devi usare \in fra dollari $

[garnak.olegovitc1]

"miccio90":Salve a tutti, vorrei un chiarimento sugli ordinali. Devo sostenere l'esame di fondamenti di matematica e sul libro di testo, nella parte che riguarda gli ordinali, ho spesso incontrato il concetto che esprime che la relazione del minore "<" coincide con la relazione di appartenenza "{ \displaystyle \in }" senza però spiegare il perchè. Visto che so di esami in cui il professore lo ha chiesto vorrei che qualcuno mi spiegasse il motivo di questa coincidenza. Grazie a tutti.

PS: non sono riuscito a far apparire il simbolo di appartenenza

cosí ti domanderei subito "cosa intendi tu o il tuo docente per ordinale?", a parte ció per quanto ho studiato io dal testo CLIC:

Def.: due klassi \(A,B\):

1- "\(A \) é ordinale", \(Ord(A)\), se \( \operatorname{Trans}(A) \, \wedge \in_{Rel} \text{ e´un buon ordine su } A\)[/list:u:3o3z0y2h]

2 - \( On:= \{x| x \text{ e´ordinale}\}\)[/list:u:3o3z0y2h]

3 - \(A <_o B\) se \(A \in On \wedge B \in On \wedge A \in B\)[/list:u:3o3z0y2h]

4 - \(A \leq_o B\) se \( B \in On \wedge (A=B \vee A<_o B)\)[/list:u:3o3z0y2h]

5 - "\(A\) é numero ordinale" se \(A \in On \)[/list:u:3o3z0y2h]

- Nella definizione 1, \( \operatorname{Trans}(A)\) significa "\(A\) e´ transitivo", ed \(\in_{Rel}:=\{x| \exists y,z:(x=(y,z) \wedge y \in z)\}\), mentre penso che sai cosa sia un buon ordine su una klasse
- Nella definizione 2, quella variabile \(x\) minuscola si riferisce solo a insiemi (come anche nella definizione di \(\in_{Rel}\) qualora ti era sfuggito)
- Nella definizione 3, si usa per la definizione il concetto primitivo di appartenenza
- Nella definizione 4, in parte stessa cosa per quanto detto nella definizione 3, in altra parte ci si rifá sempre al concetto primitivo dell´appartenenza (pensa all´assioma di estensionalitá)
- Nella definizione 5, si capisce che i numeri ordinali sono insiemi, ergo anche klassi per definizione, che sono ordinali

Il succo della tua questione, e quanto anche il tuo docente voleva dire informalmente, é quanto ho scritto per la definizione 3 e 4, definizioni che si rifanno al concetto primitivo di appartenenza..