Chiarimento campo

[sdrabb1]

se sono in $F_2=Z/(2Z)$

posso dire che $ [-1]=[1] $ ? o sbaglio qualcosa....

mi serve perchè non mi è chiaro questo ho questo polinomi ciclotomici $phi_4(x) = x^2 +1$
non capisco perchè mi dice che in $F_2=Z/(2Z)$ è riducibile e in $F_3=Z/(3Z)$ non lo è?

[dan952]

Alla prima domanda rispondo con un secco sì, infatti $-1 \in [1]$ dunque essendo una classe di equivalenza abbiamo che $[-1]=[1]$

Dunque $x^2+1=x^2-1=(x+1)(x-1)$, mentre in $\mathbb{F}_3$, $x^2+1=x^2-(3n-1)$, puoi far vedere con il piccolo teorema di Fermat che $\forall n \in NN$, $3n-1$ non è mai un quadrato perfetto, e quindi è irriducibile in $\mathbb{F_3}$.

[Steven11]

"dan95":mentre in $\mathbb{F}_3$, $x^2+1=x^2-(3n-1)$, puoi far vedere con il piccolo teorema di Fermat che $\forall n \in NN$, $3n-1$ non è mai un quadrato perfetto, e quindi è irriducibile in $\mathbb{F_3}$.

O molto più semplicemente, osservi che un polinomio di grado due può ridursi soltanto nel prodotto di due polinomi di grado $1$. Ma questo implicherebbe che il polinomio ha due radici, cosa che non accade per $x^2+1$ nel campo con tre elementi.

[Davi901]

Esatto basta vedere che in \( \mathbb{F}_2 \) si ha che \( x^2+1=x^2-1=(x-1)(x+1) \).
Mentre in \( \mathbb{F}_3 \) basta vedere se tra i suoi elementi c'è una radice del polinomio (se si scompone è il prodotto di due fattori di primo grado) ma \( [0],[1],[2] \) non sono radici del tuo $\phi_4$.

[dan952]

Si in effetti è più semplice...vabbé ripassare Fermat non guasta mai