Chiarimenti su gruppi ciclici e sottogruppi.
Ho questi due dubbi che dal libro non sono riuscito a chiarire:
1)Un gruppo si dice ciclico se è generato da un elemento e per ogni sottogruppo di ordine $d$ non esistono altri sottogruppi dello stesso ordine, giusto?
2)Quando un sottogruppo si dice ''ciclico''?
1)Un gruppo si dice ciclico se è generato da un elemento e per ogni sottogruppo di ordine $d$ non esistono altri sottogruppi dello stesso ordine, giusto?
2)Quando un sottogruppo si dice ''ciclico''?
Risposte
"klarence":
Ho questi due dubbi che dal libro non sono riuscito a chiarire:
1)Un gruppo si dice ciclico se è generato da un elemento e per ogni ordine d che divide l'ordine del gruppo c'è un solo sottogruppo generato, giusto?
2)Quando un sottogruppo si dice ''ciclico''?
Non che abbia capito molto... cmq un gruppo $G$ si dice ciclico se e solo se esiste $x \in G$ tale che $G =
hai ragione correggo
C'è poi 1 teorema che dice: un gruppo $G$ di ordine finito $n$ è ciclico se e solo se per ogni divisore positivo $d$ di $n$ esiste uno ed un sol sottogruppo di $G$ che abbia ordine $d$.
"Sandokan.":
C'è poi 1 teorema che dice: un gruppo $G$ di ordine finito $n$ è ciclico se e solo se per ogni divisore positivo $d$ di $n$ esiste uno ed un sol sottogruppo di $G$ che abbia ordine $d$.
Perfetto, è proprio qui il mio dubbio : ad esempio $Z/(6Z)$ è un gruppo ma non è ciclico perchè i sottogruppi generati da $4$ e $2$ hanno lo stesso ordine?
Quando parli di qualche gruppo, devi dire anche con quale operazione binaria lo consideri. $ZZ_m$, per ogni $m\ge 2$ è un gruppo additivo ciclico.
Quindi immagino che tu ti stia riferendo al gruppo moltiplicativo $ZZ_n^{**}$, ma questo è ciclico solo se $n$ è $2,4,p^k,2p^k$, con $p$ primo.
Quindi immagino che tu ti stia riferendo al gruppo moltiplicativo $ZZ_n^{**}$, ma questo è ciclico solo se $n$ è $2,4,p^k,2p^k$, con $p$ primo.
"TomSawyer":
Quando parli di qualche gruppo, devi dire anche con quale operazione binaria lo consideri. $ZZ_m$, per ogni $m\ge 2$ è un gruppo additivo ciclico.
Quindi immagino che tu ti stia riferendo al gruppo moltiplicativo $ZZ_n^{**}$, ma questo è ciclico solo se $n$ è $2,4,p^k,2p^k$, con $p$ primo.
Avevo considerato l'esempio con l'operazione di addizione.
Allora banalmente, come ho detto, $1$ è un generatore in $ZZ_n$ ($n\ge2$), con $0$ come identità e l'addizione modulo $n$.
"TomSawyer":
Allora banalmente, come ho detto, $1$ è un generatore in $ZZ_n$ ($n\ge2$), con $0$ come identità e l'addizione modulo $n$.
Però non ho ancora capito una cosa:
$Z/(6Z)$ con l'operazione di addizione è un gruppo ciclico ? 1 è sicuramente un generatore di quel gruppo, però c'è un teorema(quello citato da Sandokan pochi post fa) che dice che se esiste un sottogruppo (di un gruppo ciclico) di ordine $d$ esso è unico... e in $Z/(6Z)$ 4 e 2 generano sottogruppi dello stesso ordine...
Scusate ancora per le domande stupide.
infatti hai che $<4>=<2>$ cosa ce di male???
è unico il sottogruppo di ordine $3$
è unico il sottogruppo di ordine $3$
"miuemia":
infatti hai che $<4>=<2>$ cosa ce di male???
è unico il sottogruppo di ordine $3$
ti sembrerà strano ma con questa frase sei riuscita a farmi capire il passaggio che mi mancava, grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo