Cetralizzanti e normalizzanti. Teorema di Sylow
Sia G un gruppo di ordine \(\displaystyle p^n \) con p primo. Provare che se H è un sottogruppo di G di ordine p, allora risulta centralizzante di H in G---> CG(H)=NG(H) <---normalizzante di H in G.
Utilizzando tale risultato provare che se H è normale in G allora H è un sottogruppo di Z(G).
Allora già so che il centralizzante è contenuto nel normalizzante ma come faccio a dimostrare l'uguaglianza?
Se prendo un elemento del normalizzante esso sarà un elemento g del gruppo tale che commuta con un h di H; cioè
\(\displaystyle H^g \) è l'insieme di tutti gli elementi del tipo \(\displaystyle (g^-1)hg \) ed è uguale ad H se l'elemento g commuta con l'elemento h.....?
Però poi so che se l'ordine di G è n e d|n. Se H è un sottogruppo di G di ordine d allora H è normale in G cioè \(\displaystyle H^x \) = H. Come si procede? Magari ho solo tutta una confusione in testa!!!
Utilizzando tale risultato provare che se H è normale in G allora H è un sottogruppo di Z(G).
Allora già so che il centralizzante è contenuto nel normalizzante ma come faccio a dimostrare l'uguaglianza?
Se prendo un elemento del normalizzante esso sarà un elemento g del gruppo tale che commuta con un h di H; cioè
\(\displaystyle H^g \) è l'insieme di tutti gli elementi del tipo \(\displaystyle (g^-1)hg \) ed è uguale ad H se l'elemento g commuta con l'elemento h.....?
Però poi so che se l'ordine di G è n e d|n. Se H è un sottogruppo di G di ordine d allora H è normale in G cioè \(\displaystyle H^x \) = H. Come si procede? Magari ho solo tutta una confusione in testa!!!
Risposte
Penso (ma non ti fidare troppo di quello che scrivo xD ) che potresti usare questo fatto:
Se $H$ è un sottogruppo di $G$ allora $C_G(H)$ è un sottogruppo normale di $N_G(H)$ e inoltre ${N_G(H)}/{C_G(H)}$ è isomorfo a un sottogruppo di $Aut(H)$
Ora rifletti che nel tuo caso $|{N_G(H)}/{C_G(H)}|=p^k$ è un p-gruppo (perchè $G$ lo è...). Inoltre $Aut(H)$ possiede $p-1$ elementi infatti, essendo $H=$ un gruppo ciclico di ordine $p$, ogni automorfismo è completamente determinato quando hai deciso in quale generatore mandare $x$. Quindi gli automorfismi sono $x \rightarrow x^i$ con $1<=i<=p-1$ (poichè ci sono $p-1$ generatori). Ma ${N_G(H)}/{C_G(H)}$ è isomorfo a un sottogruppo di $Aut(H)$ segue che $p^k | (p-1)$ che è possibile solo se $k=0$. Pertanto quel quoziente è banale $|{N_G(H)}/{C_G(H)}|=1$ e concludiamo che $N_G(H)=C_G(H)$
Se $H$ è un sottogruppo di $G$ allora $C_G(H)$ è un sottogruppo normale di $N_G(H)$ e inoltre ${N_G(H)}/{C_G(H)}$ è isomorfo a un sottogruppo di $Aut(H)$
Ora rifletti che nel tuo caso $|{N_G(H)}/{C_G(H)}|=p^k$ è un p-gruppo (perchè $G$ lo è...). Inoltre $Aut(H)$ possiede $p-1$ elementi infatti, essendo $H=
Ah ecco....io non sapevo della cardinalità di Aut(G) che coincide con \(\displaystyle \phi(p) \) quando p è primo. Ho dovuto cercare un pò sul web perchè sul mio libro non ho trovato nulla. Grazie mille. Ora mi è tutto chiaro.
Oltre a questo c'è anche un altro punto che chiede di provare che se H è normale in G allora H è sottogruppo di Z(G) cioè il centro. Sono partita dal fatto che se H è normale in G allora NG(H)=G e quindi in questo caso NG(H)/CG(H) = G/CG(H) però poi...??
Invece in un altro modo: sia h un elemento di H poichè H è normale ho che \(\displaystyle h^x=x^{-1}hx \) appartiene ad H. Dobbiamo provare che qualsiasi elemento di \(\displaystyle h^x \) di H è contenuto nel centro cioè permuta:
\(\displaystyle h^xy=x^{-1}hxy= \) ....????
Oltre a questo c'è anche un altro punto che chiede di provare che se H è normale in G allora H è sottogruppo di Z(G) cioè il centro. Sono partita dal fatto che se H è normale in G allora NG(H)=G e quindi in questo caso NG(H)/CG(H) = G/CG(H) però poi...??
Invece in un altro modo: sia h un elemento di H poichè H è normale ho che \(\displaystyle h^x=x^{-1}hx \) appartiene ad H. Dobbiamo provare che qualsiasi elemento di \(\displaystyle h^x \) di H è contenuto nel centro cioè permuta:
\(\displaystyle h^xy=x^{-1}hxy= \) ....????
"matleta":
Sono partita dal fatto che se H è normale in G allora NG(H)=G e quindi in questo caso NG(H)/CG(H) = G/CG(H) però poi...??
Sappiamo che $C_G(H)=N_G(H)$ e supponiamo $N_G(H)=G$ quindi $C_G(H)=G$ quindi ogni elemento di $G$ commuta con ogni elemento di $H$ quindi $H<=Z(G)$ ... e quindi non c'è niente da dimostrare! xD
P.S. Dimenticavo... benvenuta in questo forum!
Grazie mille
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