Centro di un p-gruppo
Fra una portata e l'altra del pranzo di natale mi sono messo a fare un problema sui p-gruppi ( si, sono fissato! xD )
1) Sia $ G $ un gruppo di ordine $ p^3 $ (con p primo) non abeliano, mostrare che $ Z(G) $ ha ordine p.
Trattandosi di un p-gruppo il centro non è banale. Ovviamente non può avere ordine $ p^3 $ perchè $ G $ non è abeliano. Se avesse ordine $ p^2 $ allora $ G/{Z(G)} $ avrebbe ordine $ p $ e sarebbe ciclico quindi $ G $ sarebbe abeliano, assurdo. Quindi $ |Z(G)| = p $
Non so se l'ho fatto bene, comunque prendendo spunto da questo esercizio ho pensato che potrebbe essere vera questa affermazione :
2) Sia $ G $ un gruppo di ordine $ p^4 $ non abeliano allora $ Z(G) $ è ciclico.
Fra i possibili ordini di $ Z(G) $ escludiamo subito $ 1,p^3,p^4 $ (facendo lo stesso ragionamento di prima). Se il centro ha ordine $ p $ allora è ciclico, se invece ha ordine $ p^2 $ allora $ |G/{Z(G)}|=p^2 $ ma non può essere ciclico e quindi è prodotto diretto di due sottogruppi di ordine $ p $ ovvero $ G/{Z(G)}= H/{Z(G)} xx K/{Z(G)} $ e ovviamente $ H $ e $ K $ hanno ordine $ p^3 $ e contengono $ Z(G) $. Inoltre $ Z(G) \subset Z(H) $. Ma $ Z(G) $ abbiamo detto che ha ordine $ p^2 $ quindi $ Z(H)=H $ oppure $ Z(H)=Z(G) $. In questo ultimo caso però si arriva ad un assurdo perchè $ H/{Z(H)} $ avrebbe ordine $ p $ e quindi sarebbe ciclico e $ H $ sarebbe abeliano contro l'ipotesi. Allora è $ Z(H)=H $ cioè $ H $ è un p-gruppo abeliano. Pertanto $ H $ possiede un unico sottogruppo di ordine $ p $. Quindi se Z(G) non è ciclico allora dovrebbe essere prodotto diretto di due sottogruppi di ordine $ p $ che sarebbero anche sottogruppi di H contro l'unicità. Quindi $ Z(G) $ è ciclico.
Se per caso è tutto sbagliato è colpa dello spumante...
1) Sia $ G $ un gruppo di ordine $ p^3 $ (con p primo) non abeliano, mostrare che $ Z(G) $ ha ordine p.
Trattandosi di un p-gruppo il centro non è banale. Ovviamente non può avere ordine $ p^3 $ perchè $ G $ non è abeliano. Se avesse ordine $ p^2 $ allora $ G/{Z(G)} $ avrebbe ordine $ p $ e sarebbe ciclico quindi $ G $ sarebbe abeliano, assurdo. Quindi $ |Z(G)| = p $
Non so se l'ho fatto bene, comunque prendendo spunto da questo esercizio ho pensato che potrebbe essere vera questa affermazione :
2) Sia $ G $ un gruppo di ordine $ p^4 $ non abeliano allora $ Z(G) $ è ciclico.
Fra i possibili ordini di $ Z(G) $ escludiamo subito $ 1,p^3,p^4 $ (facendo lo stesso ragionamento di prima). Se il centro ha ordine $ p $ allora è ciclico, se invece ha ordine $ p^2 $ allora $ |G/{Z(G)}|=p^2 $ ma non può essere ciclico e quindi è prodotto diretto di due sottogruppi di ordine $ p $ ovvero $ G/{Z(G)}= H/{Z(G)} xx K/{Z(G)} $ e ovviamente $ H $ e $ K $ hanno ordine $ p^3 $ e contengono $ Z(G) $. Inoltre $ Z(G) \subset Z(H) $. Ma $ Z(G) $ abbiamo detto che ha ordine $ p^2 $ quindi $ Z(H)=H $ oppure $ Z(H)=Z(G) $. In questo ultimo caso però si arriva ad un assurdo perchè $ H/{Z(H)} $ avrebbe ordine $ p $ e quindi sarebbe ciclico e $ H $ sarebbe abeliano contro l'ipotesi. Allora è $ Z(H)=H $ cioè $ H $ è un p-gruppo abeliano. Pertanto $ H $ possiede un unico sottogruppo di ordine $ p $. Quindi se Z(G) non è ciclico allora dovrebbe essere prodotto diretto di due sottogruppi di ordine $ p $ che sarebbero anche sottogruppi di H contro l'unicità. Quindi $ Z(G) $ è ciclico.
Se per caso è tutto sbagliato è colpa dello spumante...
Risposte
1) è ok.
[tex]C_p \times C_p[/tex] possiede ben [tex]p+1[/tex] sottogruppi di ordine [tex]p[/tex].
"perplesso":No è falsa: per esempio [tex]Z(Q_8 \times C_2) = Z(Q_8) \times Z(C_2) \cong C_2 \times C_2[/tex].
Non so se l'ho fatto bene, comunque prendendo spunto da questo esercizio ho pensato che potrebbe essere vera questa affermazione :
2) Sia $ G $ un gruppo di ordine $ p^4 $ non abeliano allora $ Z(G) $ è ciclico.
"perplesso":...?
$ H $ è un p-gruppo abeliano. Pertanto $ H $ possiede un unico sottogruppo di ordine $ p $.
[tex]C_p \times C_p[/tex] possiede ben [tex]p+1[/tex] sottogruppi di ordine [tex]p[/tex].
"Martino":...?
[quote="perplesso"]$ H $ è un p-gruppo abeliano. Pertanto $ H $ possiede un unico sottogruppo di ordine $ p $.
[tex]C_p \times C_p[/tex] possiede ben [tex]p+1[/tex] sottogruppi di ordine [tex]p[/tex].
[/quote]
Ah è vero xD Sono i gruppi ciclici che hanno un unico sottogruppo per ogni divisore... lo spumantino mi ha confuso
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