Centro di un gruppo
Sia $f:G->H$ un omomorfismo di gruppi. $f$ manda il centro $Z(G)$ in $Z(H)$?
Allora $Z(G)={g in G | gx=xg$ per ogni $x in G}$
Ora non so come procedere. Stavo pensando di utilizzare l'azione tramite coniguio.
L'orbita di x è $O(x)= {gxg^(-1): g in G}$
Lo stabilizzatore o centralizzante è $St_x={g in G: gxg^(-1)=x}$
E quindi lo stabilizzatore è il centro di G giusto? Ma come faccio a dire qualcosa di H. E come posso utilizzare il fatto che l'applicazione sia un omomorfismo?Grazie per l'aiuto.
Allora $Z(G)={g in G | gx=xg$ per ogni $x in G}$
Ora non so come procedere. Stavo pensando di utilizzare l'azione tramite coniguio.
L'orbita di x è $O(x)= {gxg^(-1): g in G}$
Lo stabilizzatore o centralizzante è $St_x={g in G: gxg^(-1)=x}$
E quindi lo stabilizzatore è il centro di G giusto? Ma come faccio a dire qualcosa di H. E come posso utilizzare il fatto che l'applicazione sia un omomorfismo?Grazie per l'aiuto.
Risposte
Quello che puoi dire è che è l'intersezione del centralizzante dell'immagine dell'omomorfismo con se stessa. Se il centralizzante di un insieme \(\displaystyle S \) lo segno con \(\displaystyle C_G(S) \) allora \(\displaystyle f(Z(G)) = C_H(f(G))\cap f(G) \). Se \(\displaystyle f \) è suriettivo allora è \(\displaystyle f(Z(G)) = Z(H) \).
Comunque usi semplicemente il fatto che \(\displaystyle f(g)f(c) = f(gc) = f(cg) = f(c)f(g) \) per ogni elemento \(\displaystyle c \) del centro di \(\displaystyle G \). Quindi \(\displaystyle f(c) \) commuta con tutti gli elementi \(\displaystyle f(g) \) per un qualche \(\displaystyle g\in G \).
Viceversa se \(\displaystyle \epsilon \in C_H(f(G))\cap f(G) \) allora commuta con ogni elemento di \(\displaystyle f(G) \) ed esiste un \(\displaystyle c \in G \) tale che \(\displaystyle f(c) = \epsilon \). Quindi preso un \(\displaystyle f(g) \) qualsiasi vale \(\displaystyle f(cg) = f(c)f(g) = \epsilon f(g) = f(g)\epsilon = f(g)f(c) = f(gc) \) e quindi \(\displaystyle c\in Z(G) \).
Comunque usi semplicemente il fatto che \(\displaystyle f(g)f(c) = f(gc) = f(cg) = f(c)f(g) \) per ogni elemento \(\displaystyle c \) del centro di \(\displaystyle G \). Quindi \(\displaystyle f(c) \) commuta con tutti gli elementi \(\displaystyle f(g) \) per un qualche \(\displaystyle g\in G \).
Viceversa se \(\displaystyle \epsilon \in C_H(f(G))\cap f(G) \) allora commuta con ogni elemento di \(\displaystyle f(G) \) ed esiste un \(\displaystyle c \in G \) tale che \(\displaystyle f(c) = \epsilon \). Quindi preso un \(\displaystyle f(g) \) qualsiasi vale \(\displaystyle f(cg) = f(c)f(g) = \epsilon f(g) = f(g)\epsilon = f(g)f(c) = f(gc) \) e quindi \(\displaystyle c\in Z(G) \).
Non capisco come fai a dire che $f(Z(G))=C_H(f(G))nnf(G)$. Mica potresti spiegarmelo gentilmente?Grazie!
"melli13":
Non capisco come fai a dire che $f(Z(G))=C_H(f(G))nnf(G)$. Mica potresti spiegarmelo gentilmente?Grazie!
In assenza di iniettività vale in effetti solo \(\displaystyle f(Z(G))\subseteq C_H(f(G))\cap f(G) \).
Vediamo perché vale. Ora prendi un \(\displaystyle x \in Z(G) \) e un \(\displaystyle g\in G \) allora \(\displaystyle f(x)f(g) = f(xg) = f(gx) = f(g)f(x) \) e quindi \(\displaystyle x \) è nel centralizzante di \(\displaystyle f(G) \). Inoltre deve appartenere a \(\displaystyle f(G) \) perché \(\displaystyle Z(G)\subseteq G \). Quindi sta nella loro intersezione.
Ragioniamo sull'inverso. Se un elemento \(\displaystyle y \) sta in quella intersezione allora esisterà un elemento \(\displaystyle x\in G\) tale che \(\displaystyle f(x)=y \), inoltre \(\displaystyle yf(g) = f(g)y \) perché si trova nel centralizzante di \(\displaystyle f(G) \). Ora \(\displaystyle f(xg) = f(x)f(g) = yf(g) = f(g)y = f(g)f(x) = f(gx) \). Se c'è l'iniettività quindi si trova \(\displaystyle xg = gx \), altrimenti potrebbero anche essere elementi diversi.
Grazie...davvero!Ora ho capito...
Quindi possiamo dire che $f$ manda il centro di G nel centro di H solo se è un isomorfismo?
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