[Categorie] Retratto proiettivo

[perplesso1]

Se $A$ è un retratto di un oggetto proiettivo $X$ allora $A$ è proiettivo.

Sappiamo che $A$ è un retratto di $X$ cioè esistono $e: X \rightarrow A$ ed $s: A \rightarrow X$ tali che $es=1_A$. Dobbiamo dimostrare che data una freccia $f:A \rightarrow B$ e un epi $p:E \rightarrow B$ allora esiste un lift $\bar f: A \rightarrow E$ cioè tale che $p \bar {f} = f$. Ho schematizzato la situazione con il seguente diagramma



dove $\bar {fe}$ è un lift la cui esistenza è assicurata dalla proiettività di $X$. Quindi basta porre $\bar {f} = \bar {fe} s$ in questo modo $p \bar {f} = p \bar {fe} s = fes=f * 1_A = f$. Che dite ? è ok?

[Studente Anonimo]

Sì è ok.

[perplesso1]

Grazie!