Categorie additive e preabeliane
KA1. Una categoria [tex]\mathsf C[/tex] si dice additiva se comunque dati [tex]X,Y,Z\in \text{Ob}(\mathsf C)[/tex], [tex]\text{Hom}(X,Y)[/tex] e' (un insieme che e') dotato di una struttura di gruppo abeliano, e la composizione
- [tex]\text{Hom}(X,Y)\times \text{Hom}(Y,Z)\to\text{Hom}(X,Z)[/tex] [/list:u:lea60jpm][/list:u:lea60jpm]
e' billineare (per l'operazione di gruppo abeliano sugli [tex]\text{Hom}(\bullet,\bullet)[/tex]).
KA2. Una categoria e' preabeliana se e' additiva e, comunque data una freccia [tex]u : A \to B[/tex] esiste una fattorizzazione
- [tex]N \xrightarrow{j} A \xrightarrow{p} I \xrightarrow{p^*} B \xrightarrow{j^*} C[/tex][/list:u:lea60jpm][/list:u:lea60jpm]
dove [tex](N,j)[/tex] e' il nucleo di [tex]u[/tex], [tex](j^*,C)[/tex] e' il conucleo di [tex]u[/tex], [tex](A,p)[/tex] e' il conucleo di [tex]j[/tex], [tex](p^*,B)[/tex] e' il nucleo di [tex]j^*[/tex] e infine [tex]u=p^* p[/tex].
Ecco il mio problema: leggo (Godement, Topologie Algébrique et théorie des faisceaux) che una categoria preabeliana ha un oggetto zero ("basta applicare KA2 alla freccia identica di un oggetto [tex]S[/tex]"). Non capisco pero' come fare a mostrarlo.
Per unificare le notazioni: [tex](N,j:N\to A)[/tex] e' nucleo per [tex]u:A\to B[/tex] se [tex]uj=0[/tex] e, per ogni altra freccia [tex]f:X\to A[/tex] esiste unica [tex]\bar f:X\to K[/tex] tale che [tex]f=j\bar f[/tex]. Il conucleo e' la nozione duale a quella di nucleo. L'immagine di [tex]u[/tex] e' il nucleo del suo conucleo. La coimmagine di [tex]u[/tex] e' il conucleo del suo nucleo.
Risposte
Soprattutto mi accorgo che qualcosa non quadra perfettamente: Anzitutto, se [tex]a,b[/tex] sono due frecce componibili, non e' chiaro come si deve intendere che [tex]ab=0[/tex] puo' forse indicare che la loro composizione da' la freccia zero? Con un acrobazia, wiki definisce una "famiglia di oggetti zero in [tex]\mathsf C[/tex]". Precisa poi che se [tex]\mathsf C[/tex] e' una categoria additiva, esiste una famiglia di oggetti zero. E' da intendere cosi', dunque, la composizione?
Altra precisazione che mi rendo conto di dover dare (la mia speranza era di riuscire a tradurre in linguaggio un po' piu' moderno la trattazione, ma mi rendo conto che in effetti certe cose non sono proprio equivalenti a risultati odierni): Godement da una definizione alternativa di nucleo e conucleo. Per [tex]u : A \to B[/tex], un nucleo di [tex]u[/tex] e' una coppia [tex](N,j)[/tex] tale che, per ogni oggetto [tex]X[/tex] la sequenza
Altra precisazione che mi rendo conto di dover dare (la mia speranza era di riuscire a tradurre in linguaggio un po' piu' moderno la trattazione, ma mi rendo conto che in effetti certe cose non sono proprio equivalenti a risultati odierni): Godement da una definizione alternativa di nucleo e conucleo. Per [tex]u : A \to B[/tex], un nucleo di [tex]u[/tex] e' una coppia [tex](N,j)[/tex] tale che, per ogni oggetto [tex]X[/tex] la sequenza
- [tex]o\to \text{Hom}(X,N)\to \text{Hom}(X,A)\to \text{Hom}(X,B)[/tex][/list:u:1iy3ixab][/list:u:1iy3ixab]
sia esatta.
Analogamente un conucleo per [tex]u[/tex] e' una coppia [tex](j^*,C)[/tex] tale che, per ogni oggetto [tex]Y[/tex] la sequenza
- [tex]o\to \text{Hom}(C,Y)\to \text{Hom}(B,Y)\to \text{Hom}(A,Y)[/tex][/list:u:1iy3ixab][/list:u:1iy3ixab]
sia esatta.
"killing_buddha":Beh, in ogni Hom c'è uno zero no? (l'elemento neutro del gruppo Hom).
Soprattutto mi accorgo che qualcosa non quadra perfettamente: Anzitutto, se [tex]a,b[/tex] sono due frecce componibili, non e' chiaro come si deve intendere che [tex]ab=0[/tex] puo' forse indicare che la loro composizione da' la freccia zero?
Sono andato a consultare le note di Facchini. Lui definisce una categoria additiva come una categoria preadditiva con uno zero-oggetto in cui ogni coppia di oggetti ammette un coprodotto.
Poi vedo se riesco a conciliare questa definizione con quella che hai proposto.
"Martino":
Beh, in ogni Hom c'è uno zero no? (l'elemento neutro del gruppo Hom).
Sono andato a consultare le note di Facchini. Lui definisce una categoria additiva come una categoria preadditiva con uno zero-oggetto in cui ogni coppia di oggetti ammette un coprodotto.
Poi vedo se riesco a conciliare questa definizione con quella che hai proposto.
Dici che e' quello, il morfismo zero da A a B? Succede una cosa del genere, in quel caso:
[tex]\xymatrix{
&C\ar[dr]^b&\\
A\ar[ur]^a \ar[rr]_0&& B
}[/tex]
Il punto curioso è che abbiamo definizioni diverse di categoria additiva. Quella che per te è una categoria additiva per me è una categoria preadditiva. In effetti non è chiaro come si debba applicare KA2 alla freccia identica. L'oggetto $I$ che compare in KA2 dipende da A,B oppure è universale?
Si', ci sono parecchi problemi di compatibilita':
Godement suppone tacitamente che quella che lui chiama categoria additiva sia esatta, e quindi non "separa" [tex]I[/tex] in [tex]\text{coim}\, f \xrightarrow{\phi} \text{im}\, f[/tex] (quella fattorizzazione credo sia universale, perche' universali sono immagine e coimmagine visti come ker del coker e coker del ker). Piu' che da A,B dipende da [tex]f[/tex]... Ma nella definizione di Iversen una categoria esatta deve gia' avere oggetti zero...
"B. Iversen, (Cohomology of sheaves)":
Supponiamo che [tex]\mathsf C[/tex] abbia nuclei e conuclei per ogni oggetto. Allora, per ogni freccia [tex]f:A\to B[/tex], esiste una fattorizzazione canonica
[tex]\ker f \xrightarrow{i} A \xrightarrow{} \text{coim}\, f \xrightarrow{\phi} \text{im}\, f \xrightarrow{} B \xrightarrow{p} \text{coker}\, f[/tex]
La categoria si dice esatta se per ogni freccia [tex]f[/tex] la freccia indotta da quella fattorizzazione e' un isomorfismo.
Godement suppone tacitamente che quella che lui chiama categoria additiva sia esatta, e quindi non "separa" [tex]I[/tex] in [tex]\text{coim}\, f \xrightarrow{\phi} \text{im}\, f[/tex] (quella fattorizzazione credo sia universale, perche' universali sono immagine e coimmagine visti come ker del coker e coker del ker). Piu' che da A,B dipende da [tex]f[/tex]... Ma nella definizione di Iversen una categoria esatta deve gia' avere oggetti zero...
Ci siamo persi in un bicchier d'acqua!
Considera l'identità $1:A to A$, e il suo nucleo $j:N to A$. Si ha allora che $j = 1 circ j = 0$ dalla definizione di nucleo. Dato un qualunque morfismo $t:N to N$ si ha $j circ t=0 \circ t = 0$ per bilinearità, quindi $j circ t = j = j circ 1$. La proprietà universale del nucleo implica che $t=1$.
Quindi $Hom(N,N)=0$, quindi $N$ è uno zero-oggetto.
Considera l'identità $1:A to A$, e il suo nucleo $j:N to A$. Si ha allora che $j = 1 circ j = 0$ dalla definizione di nucleo. Dato un qualunque morfismo $t:N to N$ si ha $j circ t=0 \circ t = 0$ per bilinearità, quindi $j circ t = j = j circ 1$. La proprietà universale del nucleo implica che $t=1$.
Quindi $Hom(N,N)=0$, quindi $N$ è uno zero-oggetto.
Non so, non mi convince ancora del tutto....
Cosa non ti convince?
"Martino":
Ci siamo persi in un bicchier d'acqua!
Considera l'identità $1:A to A$, e il suo nucleo $j:N to A$. Si ha allora che $j = 1 circ j = 0$ dalla definizione di nucleo. Dato un qualunque morfismo $t:N to N$ si ha $j circ t=0 \circ t = 0$ per bilinearità, quindi $j circ t = j = j circ 1$. La proprietà universale del nucleo implica che $t=1$.
Quindi $Hom(N,N)=0$, quindi $N$ è uno zero-oggetto.
Quando dici $j = 0$ intendi il neutro di $Hom(N to A)$?
Poi non capisco il senso di $j circ t=0 \circ t = 0$. Io avrei detto in un solo passaggio che $j circ t=0 \circ t = 0=j=j circ 1_N$ e allora $t=1_N$...
"killing_buddha":Certo.
Quando dici $j = 0$ intendi il neutro di $Hom(N to A)$?
Poi non capisco il senso di $j circ t=0 \circ t = 0$. Io avrei detto in un solo passaggio che $j circ t=0 \circ t = 0=j=j circ 1_N$ e allora $t=1_N$...Ok, abbiamo detto la stessa cosa in modo leggermente diverso.
Ancora non capisco cosa non è chiaro.
Forse fatico a incarnare tutto questo "nonsense" algebrico in una idea concreta. Ma sto imparando che le categorie sono fatte cosi'.
L'unico problema ora e' che accavallo due nozioni, quella di morfismo identico (quindi neutro rispetto alla composizione) e quella di neutro del gruppo abeliano $Hom(A,B)$ (rispetto ad una operazione che, a priori, poco c'entra con una eventuale operazione sugli oggetti). I due non coincidono!
L'unico problema ora e' che accavallo due nozioni, quella di morfismo identico (quindi neutro rispetto alla composizione) e quella di neutro del gruppo abeliano $Hom(A,B)$ (rispetto ad una operazione che, a priori, poco c'entra con una eventuale operazione sugli oggetti). I due non coincidono!
"killing_buddha":Certo che non coincidono: pensa per esempio alla categoria dei gruppi abeliani. Il morfismo identico $G to G$ è quello che manda ogni elemento in se stesso, il morfismo "zero" $G to G$ è quello che manda ogni elemento in zero.
L'unico problema ora e' che accavallo due nozioni, quella di morfismo identico (quindi neutro rispetto alla composizione) e quella di neutro del gruppo abeliano $Hom(A,B)$ (rispetto ad una operazione che, a priori, poco c'entra con una eventuale operazione sugli oggetti). I due non coincidono!
Per uno zero-oggetto $Z$ invece lo zero di $Hom(Z,Z)$ è proprio l'identità. Se ti può aiutare a fare chiarezza (trascrivo dalle note di Facchini):
Let $C$ be a preadditive category, $Z in Ob(C)$. The following are equivalent:
1. $Z$ is initial.
2. $Z$ is terminal.
3. $1_Z = 0_{Z,Z}$.
4. $|Hom_C(Z,Z)| = 1$.
Ma in Gruppi, Anelli, R-Moduli ecc. gli esempi abbondano. In queste categorie, possiamo dire che in un certo modo la struttura di categoria preadditiva (uso le tue notazioni) sia "indotta" da una precedente struttura abeliana su ognuno degli oggetti. Ma in una categoria astratta qualunque, ho dei problemi ad accettare che una struttura di gruppoa beliano sui vari Hom NON venga da una analoga struttura sugli oggetti. Ma questo, se vogliamo, e' un altro problema, che poco ha a che vedere con la questione iniziale.
Venendo al secondo punto: sono stupito. In una categoria preadditiva un oggetto e' iniziale sse e' finale? Il terzo punto poi lo intendo come "$id_Z = e_{Hom(Z,Z)}$" (l freccia identica di Z e' l'elemento neutro in $Hom(Z,Z)$). Altrimenti ha poco senso!
Venendo al secondo punto: sono stupito. In una categoria preadditiva un oggetto e' iniziale sse e' finale? Il terzo punto poi lo intendo come "$id_Z = e_{Hom(Z,Z)}$" (l freccia identica di Z e' l'elemento neutro in $Hom(Z,Z)$). Altrimenti ha poco senso!
"killing_buddha":Se $A$ è iniziale allora esiste un unico morfismo $A to A$ (l'identità), che dev'essere il morfismo nullo, indichiamolo con $0_{A,A}$. Se $B$ è un qualsiasi oggetto e $k:B to A$ è un qualsiasi morfismo si ha $k=id_A circ k=0_{A,A} circ k=0_{B,A}$ per bilinearità, quindi $A$ è finale. L'altra implicazione è analoga.
Venendo al secondo punto: sono stupito. In una categoria preadditiva un oggetto e' iniziale sse e' finale?
Il terzo punto poi lo intendo come "$id_Z = e_{Hom(Z,Z)}$" (l freccia identica di Z e' l'elemento neutro in $Hom(Z,Z)$). Altrimenti ha poco senso!Non ha poco senso, è questione di notazione. Il morfismo zero di $Hom(A,B)$ è indicato con $0_{A,B}$.
PS. non preoccuparti se la struttura di gruppo sugli Hom potrebbe non venire dagli oggetti. A parte che non sei obbligato a costruire esempi esotici, nella maggior parte dei casi si lavora su categorie come gruppi, anelli, moduli o costruite a partire da queste (vd. fasci).
Ok, sono gia' piu' convinto. Dove recupero le dispense di Facchini?
Non le recuperi, non ci sono in giro, sono io che ho trascritto gli appunti in latex. Se vuoi ti mando il file.
Sia $i: I\to I$ il nucleo di $1_X$, si ha $i=1_X\circ i= 0^I_X$ ; mostriamo che $I$ è finale: Sia $A$ un oggetto, certamente si ha una freccia $f: A\to I$, da $0^A_X=i\circ f$ segue (essendo $I$ un nucleo) che $f$ èl'unica freccia con che verifica l'ultima ugualianza, e quindi $f=0$ . Quindi $I$ è finale e ogni freccia del tipo $A\to I$ è nulla. Inoltre essendo $I$ finale la freccia $0^X_I: X\to I$ è una retrazione con sezione $i$. Ed essendo $0^X_I: X\to I$ Epi si ha che questa è il conucleo di $1_X$ infatti se per $f: X\to A$ si ha $f\circ 1_X=0$ segue $f=0$ quindi $0^I_A: I\to A$ verifica $f= 0^I_A\circ =^X_I$, ed è unico essendo $0^X_I: X\to I$ è una retrazione quindi Epi. Da ciò segue che $I$ è iniziale: sia $f: I\to A$ questi è l'unica freccia che verifica $0^X_A=f\circ 0^X_I$ .
"killing_buddha":
KA1. Una categoria [tex]\mathsf C[/tex] si dice additiva se comunque dati [tex]X,Y,Z\in \text{Ob}(\mathsf C)[/tex], [tex]\text{Hom}(X,Y)[/tex] e' (un insieme che e') dotato di una struttura di gruppo abeliano, e la composizione
[tex]\text{Hom}(X,Y)\times \text{Hom}(Y,Z)\to\text{Hom}(X,Z)[/tex] [/list:u:1tz42gip][/list:u:1tz42gip]
e' billineare (per l'operazione di gruppo abeliano sugli [tex]\text{Hom}(\bullet,\bullet)[/tex]).
KA2. Una categoria e' preabeliana se e' additiva e, comunque data una freccia [tex]u : A \to B[/tex] esiste una fattorizzazione
[tex]N \xrightarrow{j} A \xrightarrow{p} I \xrightarrow{p^*} B \xrightarrow{j^*} C[/tex][/list:u:1tz42gip][/list:u:1tz42gip]
dove [tex](N,j)[/tex] e' il nucleo di [tex]u[/tex], [tex](j^*,C)[/tex] e' il conucleo di [tex]u[/tex], [tex](A,p)[/tex] e' il conucleo di [tex]j[/tex], [tex](p^*,B)[/tex] e' il nucleo di [tex]j^*[/tex] e infine [tex]u=p^* p[/tex].
Ecco il mio problema: leggo (Godement, Topologie Algébrique et théorie des faisceaux) che una categoria preabeliana ha un oggetto zero ("basta applicare KA2 alla freccia identica di un oggetto [tex]S[/tex]"). Non capisco pero' come fare a mostrarlo.
Per unificare le notazioni: [tex](N,j:N\to A)[/tex] e' nucleo per [tex]u:A\to B[/tex] se [tex]uj=0[/tex] e, per ogni altra freccia [tex]f:X\to A[/tex] esiste unica [tex]\bar f:X\to K[/tex] tale che [tex]f=j\bar f[/tex]. Il conucleo e' la nozione duale a quella di nucleo. L'immagine di [tex]u[/tex] e' il nucleo del suo conucleo. La coimmagine di [tex]u[/tex] e' il conucleo del suo nucleo.
... Ti consiglio pag.4 del secondo tomo del Borceux
Questa mia dimostrazione vale per un categoria puntata generale
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