Cardinalitá strana

[anto_zoolander]

In sede di esame la mia professoressa ha messo un esercizio dove in poche parole in un punto si chiedeva la seguente cosa:

Dato il sottogruppo $U_3(ZZ_p)$ delle matrici unitriangolari superiori di ordine tre a coefficienti in $ZZ_p$ e poi di considerare l’insieme

$G:=U_3(ZZ_p)timesprod_(k=1)^(m-3)ZZ_p$ con $mgeq3$

Chiaramente la sua cardinalitá è $p^m$ ma non è importante questo.
Chiedeva di considerare $Z(G)$ che torna essere semplicemente il prodotto tra il centro di $U_3(ZZ_p)$ per il prodotto degli $m-3$ gruppi $ZZ_p$

$ZZ_p$ è considerato additivo.

Veniva chiesto di calcolare $|G/(Z(G))|$
Avevo già mostrato che $|Z(G)|=p^(m-2)$

Ora io so che $G/(Z(G))congI(G)$ ovvero è isomorfo al gruppo degli automorfismi interni di $G$

Ma come banana lo calcolo? Il fatto che $ZZ_p$ sia abeliano aiuta relativamente visto che $I(ZZ_p)$ conterrà soltanto l’automorfismo identico.

Non voglio la soluzione completa, più che altro un accenno di idea.

[killing_buddha]

Aspetta, non è chiaro cosa vuoi fare: vuoi sapere a cosa è isomorfo $I(G)$? E' un gruppo di ordine $p^2$, ci sono solo due possibilità.

[anto_zoolander]

In realtà mi interessava sapere come si arrivasse proprio all’ordine di quel gruppo, proprio perché so che vale quell’isomorfismo ho pensato che magari fosse più ‘facile’ calcolare l’ordine del gruppo degli automorfismi interni.

[killing_buddha]

Se $G,H$ sono gruppi finiti e $H\le G$, la cardinalità di \(G/H\) è il quoziente di $|G|$ e di $|H|$...

[anto_zoolander]

Che sono deficiente p***a vacca, è l’indice di $Z(G)$ in $G$ e quindi $p^m/p^(m-2)=p^2$

Ogni volta penso a cosa complesse e finisco per non pensare alle soluzioni che poi sono banalissime