Cardinalità Insiemi
Siano
$ A:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} $
$ B:={n in A|n^2 e' pari} $
$ C:={n in A|n<=7} $
Si calcoli la cardinalita dei seguenti insiemi X, Y e Z:
$ X:= A\\(B\\C) $
$ Y:={D in 2^A|B sub D} $
$ Z:={f in A^A|f(B) sub B} $
Per X :
$ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} // ({0,2,4,6,8}//{0,1,2,3,4,5,6,7}) $
$ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} // {8} $
$ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,9} $
Quindi $ |X| = 9 $
Per Y :
$ 2^A $ è l'insieme delle parti di A, D contiene i sottoinsiemi composti da elementi di B, quindi $ 2^(Ann B) $ = $ 2^(5) $ .
Corretto ?
Per Z :
$ |A^A| = |A|^|A| = 10^10 $ , però da qui non saprei come procedere
$ A:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} $
$ B:={n in A|n^2 e' pari} $
$ C:={n in A|n<=7} $
Si calcoli la cardinalita dei seguenti insiemi X, Y e Z:
$ X:= A\\(B\\C) $
$ Y:={D in 2^A|B sub D} $
$ Z:={f in A^A|f(B) sub B} $
Per X :
$ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} // ({0,2,4,6,8}//{0,1,2,3,4,5,6,7}) $
$ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} // {8} $
$ X:= {0,1,2,3,4,5,6,7,9} $
Quindi $ |X| = 9 $
Per Y :
$ 2^A $ è l'insieme delle parti di A, D contiene i sottoinsiemi composti da elementi di B, quindi $ 2^(Ann B) $ = $ 2^(5) $ .
Corretto ?
Per Z :
$ |A^A| = |A|^|A| = 10^10 $ , però da qui non saprei come procedere
Risposte
per X, OK;
per Y, non so come hai proceduto, perché io mi sarei calcolato |A-B| e non la cardinalità dell'intersezione, anche se qui il risultato è lo stesso: ho però dubbi sul simbolo di inclusione che hai usato, e la risposta cambia a seconda che si tratti di inclusione stretta oppure no;
per Z, devi considerare f(B) come vincolo, e anche qui cambia a seconda di come va considerata l'inclusione: se è in senso lato, come mi pare sia stato considerato in base alle tue risposte, allora hai $|B|^|B|*|A|^|A-B|$.
prova a riflettere e fammi sapere.
per Y, non so come hai proceduto, perché io mi sarei calcolato |A-B| e non la cardinalità dell'intersezione, anche se qui il risultato è lo stesso: ho però dubbi sul simbolo di inclusione che hai usato, e la risposta cambia a seconda che si tratti di inclusione stretta oppure no;
per Z, devi considerare f(B) come vincolo, e anche qui cambia a seconda di come va considerata l'inclusione: se è in senso lato, come mi pare sia stato considerato in base alle tue risposte, allora hai $|B|^|B|*|A|^|A-B|$.
prova a riflettere e fammi sapere.
Per Y devo trovare i sottoinsiemi di $ 2^A $ composti da elementi di B giusto ?
Per il vincolo $ Bsub D $ ho considerato gli elementi in comune tra A e B, quindi $ |Ann B| = {0,2,4,6,8} = 5 $ .
In questo modo escludo i sottoinsiemi di $ 2^A $ che contengono elementi non presenti in B e ottengo $ |Y|=2^5 $ .
Se A fosse $ A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11} $, la cardinalità di Y sarebbe ancora $ |Y|=2^5 $ giusto ?
Per il vincolo $ Bsub D $ ho considerato gli elementi in comune tra A e B, quindi $ |Ann B| = {0,2,4,6,8} = 5 $ .
In questo modo escludo i sottoinsiemi di $ 2^A $ che contengono elementi non presenti in B e ottengo $ |Y|=2^5 $ .
Se A fosse $ A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11} $, la cardinalità di Y sarebbe ancora $ |Y|=2^5 $ giusto ?
secondo me è un caso che venga $2^5$, e vale se $sub$ sta per sottoinsieme proprio
nell'ipotesi che dici, in base a quello che penso io, verrebbe $2^6$, sempre se $sub$ sta per sottoinsieme proprio:
Y non ha a che fare con i sottoinsiemi di B, ma D contiene B, con aggiunta di qualche elemento di A, perciò dico che Y ha a che fare con i sottoinsiemi di A-B.
nell'ipotesi che dici, in base a quello che penso io, verrebbe $2^6$, sempre se $sub$ sta per sottoinsieme proprio:
Y non ha a che fare con i sottoinsiemi di B, ma D contiene B, con aggiunta di qualche elemento di A, perciò dico che Y ha a che fare con i sottoinsiemi di A-B.
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