Cardinalità insieme
Salve, ho una domanda "secca".
Se ho un insieme con infiniti $+1$, posso dire che ha la stessa cardinalità dei numeri naturali oppure devo concludere che un solo elemento? Dovrebbe essere uno solo a quanto ho capito, è così?
Grazie
Se ho un insieme con infiniti $+1$, posso dire che ha la stessa cardinalità dei numeri naturali oppure devo concludere che un solo elemento? Dovrebbe essere uno solo a quanto ho capito, è così?
Grazie
Risposte
Francamente non ho capito la domanda. Prova a farla un po' meno "secca" 
Provo a inumidire:
So che un insieme infinito $S$ ha la stessa cardinalità dell'insieme $N$ dei numeri naturali (aleph-0 se non sbaglio) allora esiste un'applicazione biunivoca che lega ogni elemento dei numeri naturali agli elementi dell'insieme $S$.
Per esempio da questa definizione si capisce che i numeri pari sono in egual numero di tutti i numeri sia pari che dispari.
Ora prendo un insieme $S$ fatto da soli numeri $1$, infiniti numeri $1$.
Posso associare in modo biunivoco gli elementi di questo insieme con i numeri naturali? Una cosa del tipo
(il primo numero sulla riga di destra è $1$)
e stabilire che hanno la stessa cardinalità dei numeri naturali?
Io credo di no perché se un elemento di $S$ si lega con un elemento di $N$ si legherà allora con tutti gli elementi di $N$ e verrebbe meno l'essere iniettivo. E' come che la costante sia iniettiva, il che non è vero.
Sto dicendo giusto o sto sbagliando?
So che un insieme infinito $S$ ha la stessa cardinalità dell'insieme $N$ dei numeri naturali (aleph-0 se non sbaglio) allora esiste un'applicazione biunivoca che lega ogni elemento dei numeri naturali agli elementi dell'insieme $S$.
Per esempio da questa definizione si capisce che i numeri pari sono in egual numero di tutti i numeri sia pari che dispari.
Ora prendo un insieme $S$ fatto da soli numeri $1$, infiniti numeri $1$.
Posso associare in modo biunivoco gli elementi di questo insieme con i numeri naturali? Una cosa del tipo
(il primo numero sulla riga di destra è $1$)
e stabilire che hanno la stessa cardinalità dei numeri naturali?
Io credo di no perché se un elemento di $S$ si lega con un elemento di $N$ si legherà allora con tutti gli elementi di $N$ e verrebbe meno l'essere iniettivo. E' come che la costante sia iniettiva, il che non è vero.
Sto dicendo giusto o sto sbagliando?
Se quegli 1 sono diversi allora possono essere distinti l'uno all'altro e pertanto esiste un biiezione con i numeri naturali per il semplice fatto che tu hai espressamente supposto che siano un infinito numerabile. Altrimenti \(S\) è formato da un solo elemento e non ha la stessa cardinalità dei numeri naturali. Non confondere insieme con multiinsieme http://it.wikipedia.org/wiki/Multiinsieme
"Spremiagrumi":Più che un "se ... allora", questa è proprio la definizione di numerabilità, ovvero di "avere la stessa cardinalità dei naturali".
So che un insieme infinito $S$ ha la stessa cardinalità dell'insieme $N$ dei numeri naturali (aleph-0 se non sbaglio) allora esiste un'applicazione biunivoca che lega ogni elemento dei numeri naturali agli elementi dell'insieme $S$.
"Spremiagrumi":
Ora prendo un insieme $S$ fatto da soli numeri $1$, infiniti numeri $1$.
Il problema qui è che stai facendo la domanda al contrario. Provo a spiegarmi in maniera informale. Se tu prendi un insieme costituito solo da "infinite volte lo stesso elemento", ottieni un insieme con un solo elemento. Nessuno ti impedisce però di prendere dei cloni del tuo elemento ed avere infinite copie distinte dello stesso oggetto. Per fare quest'ultima cosa si ricorre al concetto di unione disgiunta.
"Spremiagrumi":
Posso associare in modo biunivoco gli elementi di questo insieme con i numeri naturali?
La risposta breve è: puoi. Ma sei tu a deciderlo. Dipende da come indicizzi l'unione disgiunta. Immagino tu sappia che esistono infiniti di ordine diverso (la cardinalità dei reali è maggiore di quella dei naturali). Consideriamo l'insieme \(A=\{1\}\) costituito dal solo elemento \(1\). Come dicevo prima, si ha \[\bigcup_{j = 1}^5 A = A \, \quad \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A = A\] e similmente \[\bigcup_{j \in \mathbb{R}} A = A\] ma se consideriamo \[\bigsqcup_{j =1}^5 A\] otteniamo cinque copie distinte dello stesso \(1\), similmente se prendiamo \[\bigsqcup_{j \in \mathbb{N}} A\] otteniamo un insieme con una quantità numerabile di \(1\) tutti distinti tra loro, e avendo scelto noi di prenderne una quantità numerabile è scontato che potremo porre questo insieme in bîezione coi naturali. Se invece prendessimo \[\bigsqcup_{j \in \mathbb{R}} A\] otterremmo un insieme con una quantità più che numerabile di \(1\) e quest'insieme non potrebbe essere posto in bîezione coi naturali. Quindi quel che chiedi è possibile che accada, ma non è necessario, dipende da come definiamo le cose.
"Spremiagrumi":
se un elemento di $S$ si lega con un elemento di $N$ si legherà allora con tutti gli elementi di $N$ e verrebbe meno l'essere iniettivo.
Per questo è fondamentale il fatto che le copie dello stesso elemento siano o meno distinte. Se tu prendi un solo elemento e vuoi associargli tutto \(\mathbb{N}\) non solo non hai una funzione iniettiva, non hai proprio una funzione[nota]almeno, non una tra il tuo insieme con un solo elemento ed \(\mathbb{N}\)[/nota]. Se tu prendi un tot di copie distinte del tuo elemento è quasi ovvio (per costruzione, diciamo) che puoi porre quelle copie distinte in bîezione con qualsiasi cosa abbia la stessa cardinalità della tua unione disgiunta.
Mi rendo conto che se è la prima volta che incontri questi concetti il tutto possa suonare estremamente astratto, e lo è, il modo migliore per capire queste cose è probabilmente vederle applicate in altri contesti matematici (delle unioni disgiunte se ne fa un gran uso in topologia, ad esempio), solo che hai posto una domanda piuttosto generica, quindi non saprei come rispondere diversamente. Fammi sapere se qualcosa non ti è chiaro.
"Epimenide93":
[quote="Spremiagrumi"]Posso associare in modo biunivoco gli elementi di questo insieme con i numeri naturali?
La risposta breve è: puoi. Ma sei tu a deciderlo. Dipende da come indicizzi l'unione disgiunta. Immagino tu sappia che esistono infiniti di ordine diverso (la cardinalità dei reali è maggiore di quella dei naturali). Consideriamo l'insieme \(A=\{1\}\) costituito dal solo elemento \(1\). Come dicevo prima, si ha \[\bigcup_{j = 1}^5 A = A \, \quad \bigcup_{j \in \mathbb{N}} A = A\] e similmente \[\bigcup_{j \in \mathbb{R}} A = A\] ma se consideriamo \[\bigsqcup_{j =1}^5 A\] otteniamo cinque copie distinte dello stesso \(1\), similmente se prendiamo \[\bigsqcup_{j \in \mathbb{N}} A\] otteniamo un insieme con una quantità numerabile di \(1\) tutti distinti tra loro, e avendo scelto noi di prenderne una quantità numerabile è scontato che potremo porre questo insieme in bîezione coi naturali. Se invece prendessimo \[\bigsqcup_{j \in \mathbb{R}} A\] otterremmo un insieme con una quantità più che numerabile di \(1\) e quest'insieme non potrebbe essere posto in bîezione coi naturali. Quindi quel che chiedi è possibile che accada, ma non è necessario, dipende da come definiamo le cose.
[/quote]
Non riesco a capire per nulla la notazione (per esempio quel 5 la in alto). E' chiederti troppo fare un commento a fianco alla scrittura in formule? E oltre tutto non ho afferrato il concetto di unione disgiunta
Non ho grande familiarità con questi concetti, io studio fisica, tuttavia mi serve capire questa cosa proprio per un'applicazione fisica (parrà strano). Magari la potrei anche scrivere.
Proverò a spiegare le cose in modo elementare.
Considera i voti dati ad un particolare esame. Se tu usi l'unione insiemistica su questi voti, il risultato sarà un insieme che contiene tutte le votazioni che sono state prese da almeno uno studente e contato una sola volta. Se per esempio tutti prendono 30, allora l'unione conterrà il solo elemento 30. Se invece faccio l'unione disgiunta allora l'unione avrà, per esempio, sessanta 30 distinti (insomma se prendi due di questi 30 qualsiasi allora \(\displaystyle 30_a \neq 30_b \) seppur siano entrambi dei 30). Intuitivamente il primo 30 è distinto dal secondo perché sono stati presi da due alunni diversi.
Considera i voti dati ad un particolare esame. Se tu usi l'unione insiemistica su questi voti, il risultato sarà un insieme che contiene tutte le votazioni che sono state prese da almeno uno studente e contato una sola volta. Se per esempio tutti prendono 30, allora l'unione conterrà il solo elemento 30. Se invece faccio l'unione disgiunta allora l'unione avrà, per esempio, sessanta 30 distinti (insomma se prendi due di questi 30 qualsiasi allora \(\displaystyle 30_a \neq 30_b \) seppur siano entrambi dei 30). Intuitivamente il primo 30 è distinto dal secondo perché sono stati presi da due alunni diversi.
"vict85":
Proverò a spiegare le cose in modo elementare.
Considera i voti dati ad un particolare esame. Se tu usi l'unione insiemistica su questi voti, il risultato sarà un insieme che contiene tutte le votazioni che sono state prese da almeno uno studente e contato una sola volta. Se per esempio tutti prendono 30, allora l'unione conterrà il solo elemento 30. Se invece faccio l'unione disgiunta allora l'unione avrà, per esempio, sessanta 30 distinti (insomma se prendi due di questi 30 qualsiasi allora \(\displaystyle 30_a \neq 30_b \) seppur siano entrambi dei 30). Intuitivamente il primo 30 è distinto dal secondo perché sono stati presi da due alunni diversi.
Questo mi è chiarissimo.
Ti propongo subito un altro quesito allora
Se ho la serie
$sum_(n = \0) 1^n=a_0+a_1+a_2...$
e se metto in un insieme tutti i vari $1$ posso dire che sono diversi l'uno con l'altro, perché ognuno associato ad un diverso $a_i$? Come se gli $a_i$ fossero gli studenti e $1$ i loro voti?
In questo caso avrei l'applicazione biunivoca $f(1)=a_1$, $f(2)=a_2$ etc, giusto?
"Spremiagrumi":
Non riesco a capire per nulla la notazione (per esempio quel 5 la in alto). E' chiederti troppo fare un commento a fianco alla scrittura in formule?
Non lo è, ma oggi non ne ho il tempo (domani ho un esame). Appena posso lo faccio volentieri.
"Spremiagrumi":
mi serve capire questa cosa proprio per un'applicazione fisica
Sarebbe interessante sapere di che si tratta, inoltre potrebbe essere più facile darti una risposta mirata senza stare a spiegarti necessariamente tutte le nozioni matematiche che ci sono dietro.
"Epimenide93":
[quote="Spremiagrumi"]
Non riesco a capire per nulla la notazione (per esempio quel 5 la in alto). E' chiederti troppo fare un commento a fianco alla scrittura in formule?
Non lo è, ma oggi non ne ho il tempo (domani ho un esame). Appena posso lo faccio volentieri.[/quote]
Gentilissimo, che esame per curiosità?
"Epimenide93":
[quote="Spremiagrumi"]mi serve capire questa cosa proprio per un'applicazione fisica
Sarebbe interessante sapere di che si tratta, inoltre potrebbe essere più facile darti una risposta mirata senza stare a spiegarti necessariamente tutte le nozioni matematiche che ci sono dietro.[/quote]
Mi serve capire se la serie di Grandi ($+1-1+1-1....$) che è una serie indeterminata possa convergere a qualsiasi numero. Naturalmente la serie è indeterminata ma mi è permesso "imbrogliare". Per esempio se taglio la serie dopo dei passi pari ottengo $0$ dopo passi dispari ottengo $1$. So che esistono delle permutazioni che mi fanno ottenere ad esempio $3,4,5$.
Ho pensato: perché non scrivere la serie come $+1+1+1+1+1+1+1+1+1......+1-1+1-1+1-1.....$ ovvero prima la parte finita da tagliare più una parte che con alcune associazioni mi da $0$.
Posso imbrogliare usando la proprietà associativa ma non posso aggiungere numeri dal nulla. E qui sembra che sto aggiungendo arbitrari numeri $+1$ all'inizio.
Allora ho pensato di dimostrare che essendo infiniti i numeri $+1$ ed essendo infiniti anche i $-1$ se trovo un'applicazione biunivoca che me li lega ai numeri naturali $N$ allora i $+1$ e i $-1$ hanno lo stesso numero e quindi posso scrivere la serie anche in qualsiasi modo.
Il mio professore mi ha consigliato di leggere il paradosso dell'albergo di Hilbert. Gli ospiti sono tutti identici (i +1 per esempio), hanno un numero distintivo tuttavia (a_i) eppure li associa ai numeri naturali senza problemi. Quindi credo che il procedimento sia lecito. Ho pensato adesso a questa cosa.
E' corretto quanto scrivo?
Ps Questa non è fisica naturalmente, mi serve la teoria degli insiemi per dimostrare roba di analisi per dimostrare roba di fisica, ovvero come mai l'applicazione del teorema di Gauss risulta apparentemente sbagliata per distribuzioni infinite di cariche-materia. Ora sto facendo il caso classico, più tardi dovrò estendere (provare ad estendere insieme al professore, ma nessuno lo ha mai fatto) il caso alla relatività generale e al teorema di Birkoff.
Secondo me questo dovrebbe rispondere a tutte le tue domande: è la stessa costruzione di Epimenide, che può essere fatta (forse con meno rigore) senza tirare in ballo l'unione disgiunta che non conosci bene.
Quindi se considero il mio insieme come un multiset posso trovare l'applicazione biunivoca tra gli elementi di $N$ e gli elementi del multiset, giusto? Perché, come leggo, la cardinalità dipende dal numero di elementi anche ripetuti.
Sì, anche se già bisogna considerare un multiset molto particolare, con infinite copie di un solo elemento. A seconda poi di come lo indicizzi ottieni una cardinalità del numerabile, del continuo...
In particolare, ti consiglio di considerare bene l'indicizzazione, come ti ha fatto notare sempre Epimenide con i simboli di unione: diciamo $a_i$ gli elementi indicizzati del MSet. Questo $i$ dove lo prendi? Sta qui la differenza tra MSet finiti e con cardinalità infinite.
In particolare, ti consiglio di considerare bene l'indicizzazione, come ti ha fatto notare sempre Epimenide con i simboli di unione: diciamo $a_i$ gli elementi indicizzati del MSet. Questo $i$ dove lo prendi? Sta qui la differenza tra MSet finiti e con cardinalità infinite.
Se quegli 1 sono diversi allora possono essere distinti l'uno all'altro e pertanto esiste un biiezione con i numeri naturali per il semplice fatto che tu hai espressamente supposto che siano un infinito numerabile. Altrimenti S è formato da un solo elemento e non ha la stessa cardinalità dei numeri naturali. Non confondere insieme con multiinsieme http://it.wikipedia.org/wiki/Multiinsieme
Questo messaggio me lo ero perso completamente prima...
Questo i dove lo prendi? Sta qui la differenza tra MSet finiti e con cardinalità infinite.
Visto che il mio punto di partenza è una serie del tipo
$Sigma_(n=0) 1^n=a_0+a_1+...a_i+a_(i+1)+...$
$i$ dovrebbe senz'altro avere la cardinalità del numerabile (varia con $N$). Da qui sta "l'espressamente supposto" e da qui quindi ottengo la cardinalità del numerabile.
Potete confermare?
"Spremiagrumi":
Mi serve capire se la serie di Grandi ($+1-1+1-1....$) che è una serie indeterminata possa convergere a qualsiasi numero. Naturalmente la serie è indeterminata ma mi è permesso "imbrogliare". Per esempio se taglio la serie dopo dei passi pari ottengo $0$ dopo passi dispari ottengo $1$. So che esistono delle permutazioni che mi fanno ottenere ad esempio $3,4,5$.
Ho pensato: perché non scrivere la serie come $+1+1+1+1+1+1+1+1+1......+1-1+1-1+1-1.....$ ovvero prima la parte finita da tagliare più una parte che con alcune associazioni mi da $0$.
Posso imbrogliare usando la proprietà associativa ma non posso aggiungere numeri dal nulla. E qui sembra che sto aggiungendo arbitrari numeri $+1$ all'inizio.
Allora ho pensato di dimostrare che essendo infiniti i numeri $+1$ ed essendo infiniti anche i $-1$ se trovo un'applicazione biunivoca che me li lega ai numeri naturali $N$ allora i $+1$ e i $-1$ hanno lo stesso numero e quindi posso scrivere la serie anche in qualsiasi modo.
Il mio professore mi ha consigliato di leggere il paradosso dell'albergo di Hilbert. Gli ospiti sono tutti identici (i +1 per esempio), hanno un numero distintivo tuttavia (a_i) eppure li associa ai numeri naturali senza problemi. Quindi credo che il procedimento sia lecito. Ho pensato adesso a questa cosa.
E' corretto quanto scrivo?
Direi di sì, il punto è che così non costruisci una serie convergente, ma parti da una serie indeterminata con limite superiore \(1\) e limite inferiore \(0\) e puoi ottenere una serie divergente a \(+ \infty\) o a \(- \infty\) (riarrangiando ad es: \(+1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 \cdots\)) o con limite superiore ed inferiore finiti e arbitrari (es: \((+1 +1 +1 +1) +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 + \cdots\) avrà limite superiore \(6\) e limite inferiore \(2\)). Questo informalmente. Da un punto di vista formale, riarrangiare una serie (ovvero prendere una serie che ha per termini una permutazione dei termini della serie di partenza) significa comunque cambiarla (si discuteva qui della definizione di serie). Il problema è che, nelle nozioni usuali di serie e convergenza la serie che proponi o un suo qualsiasi riarrangiamento non potranno mai essere convergente, possono solo essere indeterminate o divergenti.
"Spremiagrumi":
che esame per curiosità?
Meccanica analitica.
"Frink":
Secondo me questo dovrebbe rispondere a tutte le tue domande: è la stessa costruzione di Epimenide, che può essere fatta (forse con meno rigore) senza tirare in ballo l'unione disgiunta che non conosci bene.
Per essere rigorosa, la definizione di multiset è rigorosa, il problema è che come spesso accade in matematica se guadagni qualcosa in maneggevolezza, la perdi in generalità. In questo contesto il multiset non va bene, in quanto "The concept of a multiset is a generalization of the concept of a set. (...). An indexed family, \(\left(a_i\right)\), where i is in some index-set, may define a multiset, sometimes written \(\left\{a_i\right\}\), in which the multiplicity of any element \(x\) is the number of indices \(i\) such that \(a_i = x\). The condition for this to be possible is that no element occurs infinitely many times in the family: even in an infinite multiset, the multiplicities must be finite numbers". Pur vero che subito dopo viene precisato "It is possible to extend the definition of a multiset by allowing multiplicities of individual elements to be infinite cardinals instead of natural numbers. Not all properties carry over to this generalization however, and this article uses the definition above, with finite multiplicities.", ma in tutta sincerità che esista questa estensione l'ho scoperto ora, e con questa nozione di multiset non saprei né lavorarci né dove andare a studiarla. Anzi, se qualcuno ha informazioni al riguardo sono gradite.
"Spremiagrumi":
$i$ dovrebbe senz'altro avere la cardinalità del numerabile (varia con $N$). Da qui sta "l'espressamente supposto" e da qui quindi ottengo la cardinalità del numerabile.
Potete confermare?
Sì, se ho capito bene il problema è così.
Per quanto riguarda il significato delle scritture nell'altro mio intervento, leggile come leggeresti il simbolo di sommatoria, ovvero, \(\bigcup_{j = 1}^5 A\) è l'unione di cinque volte \(A\) (unione per \(j\) che va da \(1\) a \(5\) di \(A\)), l'indice serve solo per contare (un po' come quando scrivi \(\sum_{j=1}^5 1 = 5\)), in questo caso non indica nient'altro. Similmente \(\bigcup_{j \in \mathbb{N}} A \) è un'unione indicizzata sui naturali, quindi è "l'analogo per le unioni di una serie", sto unendo una quantità numerabile di volte \(A\) con se stesso[nota]formalmente sarebbe meglio scrivere \(\bigcup_{j \in \mathbb{N}} A_j\) con \(\forall j \in \mathbb{N} \ A_j = A\)[/nota]. Ovviamente c'è una definizione rigorosa per questo concetto, ma immagino che possa non interessarti. Infine \(\bigcup_{j \in \mathbb{R}} A \) è un'unione continua di \(A\), è un po' più difficile da immaginare intuitivamente, forse qui una definizione tornerebbe utile, ma il caso continuo non è interessante per il tuo problema, quindi ce lo possiamo risparmiare. Le scritture con le unioni disgiunte si interpretano esattamente allo stesso modo.
Ho usato il termine convergenza a sproposito, quello mi premeva era dimostrare che i limiti superiori e inferiori potessero essere del tutto arbitrari rispetto alla serie originale.
Il fatto strano è che ragionando in questo modo posso prendere una serie divergente $1+2+3+4+...$ scriverla come
$1+(1+1+1-1)+(1+1+1+1-1)...$ e, visto che i $+1$ hanno la stessa cardinalità dei $-1$, trovo che questa serie con opportuni riarrangiamenti ha come limite superiore o inferiore qualsiasi numero arbitrario.
Comunque grazie a tutti delle risposte che mi avete dato, mi sono state molto uitli.
Il fatto strano è che ragionando in questo modo posso prendere una serie divergente $1+2+3+4+...$ scriverla come
$1+(1+1+1-1)+(1+1+1+1-1)...$ e, visto che i $+1$ hanno la stessa cardinalità dei $-1$, trovo che questa serie con opportuni riarrangiamenti ha come limite superiore o inferiore qualsiasi numero arbitrario.
Comunque grazie a tutti delle risposte che mi avete dato, mi sono state molto uitli.
Ho usato il termine convergenza a sproposito, quello mi premeva era dimostrare che i limiti superiori e inferiori potessero essere del tutto arbitrari rispetto alla serie originale.
Il fatto strano è che ragionando in questo modo posso prendere una serie divergente $1+2+3+4+...$ scriverla come
$1+(1+1+1-1)+(1+1+1+1-1)...$ e, visto che i $+1$ hanno la stessa cardinalità dei $-1$, trovo che questa serie con opportuni riarrangiamenti ha come limite superiore o inferiore qualsiasi numero arbitrario.
Comunque grazie a tutti delle risposte che mi avete dato, mi sono state molto uitli.
Il fatto strano è che ragionando in questo modo posso prendere una serie divergente $1+2+3+4+...$ scriverla come
$1+(1+1+1-1)+(1+1+1+1-1)...$ e, visto che i $+1$ hanno la stessa cardinalità dei $-1$, trovo che questa serie con opportuni riarrangiamenti ha come limite superiore o inferiore qualsiasi numero arbitrario.
Comunque grazie a tutti delle risposte che mi avete dato, mi sono state molto uitli.
"Spremiagrumi":
Il fatto strano è che ragionando in questo modo posso prendere una serie divergente $1+2+3+4+...$ scriverla come
$1+(1+1+1-1)+(1+1+1+1-1)...$ e, visto che i $+1$ hanno la stessa cardinalità dei $-1$, trovo che questa serie con opportuni riarrangiamenti ha come limite superiore o inferiore qualsiasi numero arbitrario.
Eh, no, qui non stai riarrangiando. La serie di partenza ha come termini i naturali senza lo zero, devi permutare su questo insieme. Per parlare di riarrangiamenti il termine generale della serie va considerato "indivisibile". Più formalmente, se tu hai una successione \((a_n)\) e consideri la serie associata \(\sum_n a_n\) se hai che \(a_0 = b + c\) e consideri la successione \((b,c,a_1,a_2, \ldots )\) e la serie ad essa associata, otterrai degli oggetti diversi, con lo stesso comportamento al limite, ma diversi. Puoi parlare di riarrangiamento se l'unica modifica che fai è data da una permutazione sui termini (e, ripeto, stai comunque cambiando la serie), se aggiungi altre "decomposizioni" stai cambiando gli oggetti in questione e perdi anche traccia del legame tra la serie da cui sei partito e quella che ti ritrovi dopo. Le definizioni in questi casi sono importantissime, perché quando si passa dal finito all'infinito si aggiungono molte complicazioni senza un analogo al finito, e nozioni diverse portano a gestire queste complicazioni in modi diversi, quasi mai equivalenti.
Io so che per le serie convergenti e divergenti si può usare la proprietà associativa, lo leggo dal mio libro di analisi con tanto di dimostrazione. Il fatto che scriva $2=1+1$ si può considerare come associativa comunque?
Ovvero:
Se metto $b_0=a_0+a_1$ non dovrebbe cambiare nulla se la serie diverge o converge.
Tu mi dici però che se metto
$a_0=a'_0+a'_1$
allora la serie cambia?
(gli $a_i$ sono i termini originali)
Ovvero:
Se metto $b_0=a_0+a_1$ non dovrebbe cambiare nulla se la serie diverge o converge.
Tu mi dici però che se metto
$a_0=a'_0+a'_1$
allora la serie cambia?
(gli $a_i$ sono i termini originali)
La serie cambia. Il fatto che non cambi il carattere (la convergenza) è quello che intendevo quando ho detto che non cambia il comportamento al limite. L'estensione della proprietà associativa conserva anche la somma della serie, se questa esiste. Ciò non toglie che cambia il termine generico della serie, il termine \(n\)-esimo prima era uno, ora è un altro. Questo è quello che intendo quando dico che la serie è diversa, è "composta da altra roba". Se aggiungi a questo il fatto che le serie non sommabili sono creazioni del demonio dovresti intuire perché riarrangiare serie diverse, pur con la stessa somma, produce risultati diversi.
Adesso è più chiaro. Per ora ti ringrazio ancora per la disponibilità e per le spiegazioni. Nel caso avessi altri dubbi scriverò ancora.
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