Cardinalità gruppo quoziente
Buonasera a voi,
Ho un esercizio che non so bene come affrontare, si chiede $∣Z_8/(4Z_8)∣$ ove $4Z_8={[0+4k]_8|k∈ZZ}$
L'unica cosa che mi è venuta in mente conoscendo $Z_8$ è usare lagrange? Ma credo di non aver capito bene come vedere la cardinalità di $4Z_8$.
Intende banalmente la classe di [4k] in $Z_8$? Mi sfugge la definizione di qeull'insieme
Ho un esercizio che non so bene come affrontare, si chiede $∣Z_8/(4Z_8)∣$ ove $4Z_8={[0+4k]_8|k∈ZZ}$
L'unica cosa che mi è venuta in mente conoscendo $Z_8$ è usare lagrange? Ma credo di non aver capito bene come vedere la cardinalità di $4Z_8$.
Intende banalmente la classe di [4k] in $Z_8$? Mi sfugge la definizione di qeull'insieme
Risposte
"sgrisolo":Sì!
[...] Intende banalmente la classe di [4k] in $Z_8$? [...]
Essendo \(\displaystyle\mathbb{Z}_8\) un gruppo abeliano, ogni suo sottogruppo è normale, quindi puoi quozientare en liberté; per ciò la seconda domanda sarebbe: \(\displaystyle 4\mathbb{Z}_8\) è un sottogruppo?
Io pensai di sì perché $4ZZ_8={0,4}$ (come classi) esplicitamente.
Quindi il sottoinsieme $4ZZ_8$ è non vuoto, inoltre per ogni a,b in $4ZZ_8$ è vero che $ab^-1 in 4ZZ_8$ (4 è inverso di se stesso). Quindi per il criterio dei sottogruppi è sottogruppo.
Non so se ci sia un metodo più furbo senza mostrare esplicitamente però. nel qual caso ti ascolto
Quindi il sottoinsieme $4ZZ_8$ è non vuoto, inoltre per ogni a,b in $4ZZ_8$ è vero che $ab^-1 in 4ZZ_8$ (4 è inverso di se stesso). Quindi per il criterio dei sottogruppi è sottogruppo.
Non so se ci sia un metodo più furbo senza mostrare esplicitamente però. nel qual caso ti ascolto
Il "metodo furbo" è notare che \(\displaystyle4\mathbb{Z}_8\) è il sottogruppo generato da \(\displaystyle4\) modulo \(\displaystyle8\).
Poi come continui?
Poi come continui?
Non credo di aver capito su cosa continuare, se hai detto che è "sottogruppo ciclico" con generatore 4 modulo 8 hai già risposto alla domanda
"j18eos":
la seconda domanda sarebbe: \(\displaystyle 4\mathbb{Z}_8\) è un sottogruppo?
Non hai calcolato l'ordine del gruppo quoziente! ;P
Ah ok, intendevi quello scusa XD
Beh in realtà perché come dicevo all'inizio pensavo di usare lagrange e dire semplicemente $G/([G])=$(quanto voluto); ossia: $8/2=4$ che è la cardinalità cercata.
però non so il risultato quindi lo davo per corretto, ma non ho la certezza.
PS: voglio aggiungere però una domanda, dato che parli di ordine del quoziente come sappiamo che è ciclico sicuramente?
Beh in realtà perché come dicevo all'inizio pensavo di usare lagrange e dire semplicemente $G/([G])=$(quanto voluto); ossia: $8/2=4$ che è la cardinalità cercata.
però non so il risultato quindi lo davo per corretto, ma non ho la certezza.
PS: voglio aggiungere però una domanda, dato che parli di ordine del quoziente come sappiamo che è ciclico sicuramente?
La formula di Lagrange è corretta; e se ti vai a rivedere la dimostrazione, ti torna pure il ragionamento.
P.S.: io scrivo di ordine insiemistico come sinonimo di cardinalità...
P.S.: io scrivo di ordine insiemistico come sinonimo di cardinalità...
Ti ringrazio molto per il tuo gentile aiuto
Mi sembra chiaro ora, devo dire che l'argomento gruppi, gruppi ciclici, sottogruppi normali, anelli, ideali [...] PID ecc ecc ecc, mi sta mandando in crisi per le molte nozioni da ricordare. Trovo parecchie definizioni e teoremi, devo farci ancora molto la mano!
Mi sembra chiaro ora, devo dire che l'argomento gruppi, gruppi ciclici, sottogruppi normali, anelli, ideali [...] PID ecc ecc ecc, mi sta mandando in crisi per le molte nozioni
da ricordare. Trovo parecchie definizioni e teoremi, devo farci ancora molto la mano!
Bisogna usarla l'algebra, dato ch'è tanta roba! 
P.S.: "anelli, ideali" attento!
P.S.: "anelli, ideali" attento!
Sì è un brutto typo. Sei super attento 
, non ti sfugge una virgola.
Già e devo dire che mi piace molto, è solo che per tre anni ne sono rimasto a digiuno essendo un misero fisico ed entrare nell'ordine delle idee inizialmente è stato strano. Ma 'sta lacuna s'ha da colmare, ecco perché mi stò sparando due esami di algebra!
, non ti sfugge una virgola."j18eos":
Bisogna usarla l'algebra, dato ch'è tanta roba!
Già e devo dire che mi piace molto, è solo che per tre anni ne sono rimasto a digiuno essendo un misero fisico ed entrare nell'ordine delle idee inizialmente è stato strano. Ma 'sta lacuna s'ha da colmare, ecco perché mi stò sparando due esami di algebra!
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