Cardinalità di un insieme.

[galles90]

Buongiorno,

leggendo la definizione di cardinalità: Si chiama cardinalità di un insieme non vuoto $A$ e si indica con $|A|$, la classe degli insiemi equipotenti ad $A$.

C'è ne sta anche un'altra, cioè: si definisce cardinalità di un insieme, il numero di elementi di tale insieme.

Ora, il dubbio che mi viene, come le due definzioni possono essere equivalenti ?

[40rob]

Provo a dare una risposta interpretando il quesito posto in un certo modo.

Se prendi gli insiemi finiti e conti gli elementi fino ad esaurimento e raggruppi gli insiemi che raggiungono lo stesso contatore numerico (= lo stesso numero), ottieni una certa divisione in classi, se invece dividi gli insiemi finiti in classi dove ogni membro della classe risulta equipotente agli altri (in relazione biunivoca), ottieni la stessa ed identica divisione. I procedimenti sono diversi ma la divisione ottenuta è la stessa.

In tal senso la seconda definizione ristretta ai finiti risulta strutturalmente ed estensivamente equivalente alla prima (che la estende in un certo modo anche nel non finito).

La seconda penso non si possa applicare a qualsiasi collezione perché bisogna chiarire prima cos'è un numero in generale.
Normalmente si hanno a disposizione solo i numeri naturali (1, 2, 3, 4, 5, ...) per contare gli elementi di una collezione e la seconda ha senso solo per i finiti. (lo 0 lo si usa per contare gli elementi di una collezione vuota).
Se non si chiarisce poi come bisogna contare gli elementi di insiemi non finiti, non si riuscirebbe ad afferrare che significa dire che due collezioni hanno lo stesso numero di elementi, il numero da associare ad una collezione infinita non lo si riesce a prendere col solito sistema del contare (quello che imparano i bambini a scuola).

Secondo la prima definizione l'idea in pratica consiste nell'identificare i numeri proprio con le classi di equivalenza formate da collezioni equipotenti (anche se bisogna tener presente che poi bisogna usare collezioni che non sono insiemi per rendere coerente questa definizione, che altrimenti porterebbe ad un mucchio di incongruenze), ma ce ne sono anche altre e diverse di definizioni in teorie degli insiemi senza classi.
Comunque non so, a me sembra che i numeri (naturali) siano qualcosa di più astratto e non classificabile con gli oggetti tipo collezioni, classi e così via, questi oggetti riescono solo in qualche senso a replicare la stessa struttura dei numeri sotto certi aspetti ma avranno proprietà aliene ed accidentali che nulla hanno a che vedere con i numeri.

E' chiaro che qua non si ha a che fare con problemi di matematica da risolvere, si sfocia in ambito filosofico.

Sulla natura ultima di questi oggetti ci sono sempre controversie, si hanno idee diverse se poi si va ad indagare meglio come la pensano tizio e caio rispetto a cosa sono effettivamente i numeri, anche se poi concordano tutti relativamente al fatto che 2 + 2 = 4.