Cardinalità di Q[x]
devo studiare la cardinlità di $QQ[x]$
io ho cominciato associando costruendo la seguente funzione
$a_0+a_1*x+...a_n*x^n -> (a_0,a_1,...,a_n,0,....,0)$
poichè il polinomio può essere lungo quanto voglio,i vettori hanno $|NN|$ entrate,eventualmente =0 dopo un certo n(grado del polinomio)
ogni entrata del vettore appartiene a $QQ$,quindi ogni entrata posso sceglierla in $|QQ|$ modi
quindi il numero dei vettori è $|QQ|^|NN|$
ma $|QQ|=|NN|$ quindi $|QQ|^|NN|=|NN|^|NN|=|NN * NN *...* NN|$ prodotto cartesiano di $NN$ per $|NN|$ volte
ora,poichè $|NN * NN|=|NN|$ ,io posso dire che $|NN|=|NN * NN *...* NN|$ (prodotto cartesiano di $NN$ per $k in|NN|$ volte)...posso estendere l'affermazione il prodotto cartesiano viene fatto per $|NN|$ volte?
io ho cominciato associando costruendo la seguente funzione
$a_0+a_1*x+...a_n*x^n -> (a_0,a_1,...,a_n,0,....,0)$
poichè il polinomio può essere lungo quanto voglio,i vettori hanno $|NN|$ entrate,eventualmente =0 dopo un certo n(grado del polinomio)
ogni entrata del vettore appartiene a $QQ$,quindi ogni entrata posso sceglierla in $|QQ|$ modi
quindi il numero dei vettori è $|QQ|^|NN|$
ma $|QQ|=|NN|$ quindi $|QQ|^|NN|=|NN|^|NN|=|NN * NN *...* NN|$ prodotto cartesiano di $NN$ per $|NN|$ volte
ora,poichè $|NN * NN|=|NN|$ ,io posso dire che $|NN|=|NN * NN *...* NN|$ (prodotto cartesiano di $NN$ per $k in|NN|$ volte)...posso estendere l'affermazione il prodotto cartesiano viene fatto per $|NN|$ volte?
Risposte
Ti sembra una questione da Analisi Numerica??
Ti rimbalzo ai colleghi che molto più di me si intendono di queste cose... Ma fa' attenzione a dove scrivi!
Ti rimbalzo ai colleghi che molto più di me si intendono di queste cose... Ma fa' attenzione a dove scrivi!
Anche se non ho studiato ancora in maniera seria Teoria degli insiemi, mi sembra che ci siano degli abusi di notazione abbastanza pesanti.
Un paio di osservazioni da cui ti lascio trarre le conclusioni: in algebra un polinomio, per essere detto tale, deve avere un numero finito di zeri, quindi a mio avviso non ha senso considerare eventuali serie di potenze. Dato \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \), posso pensare al "vettore" dei coefficienti di \[\displaystyle p(x)=a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + \dots + a_{n} x^{n} \] come ad un elemento di \[\displaystyle A=\begin{matrix} \underbrace{ \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \times \dots \times \mathbb{Q}}_{n+1 \text{ volte}} \end{matrix} \] che per ogni \(\displaystyle n \) finito ha sicuramente la potenza del numerabile (infatti se \(\displaystyle A, \ B \) sono insiemi equipotenti ad \(\displaystyle \mathbb{N} \), allora \(\displaystyle A \times B \) è equipotente ad \(\displaystyle \mathbb{N} \)... E il tutto si estende facilmente al prodotto cartesiano "finito").
Un paio di osservazioni da cui ti lascio trarre le conclusioni: in algebra un polinomio, per essere detto tale, deve avere un numero finito di zeri, quindi a mio avviso non ha senso considerare eventuali serie di potenze. Dato \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \), posso pensare al "vettore" dei coefficienti di \[\displaystyle p(x)=a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + \dots + a_{n} x^{n} \] come ad un elemento di \[\displaystyle A=\begin{matrix} \underbrace{ \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \times \dots \times \mathbb{Q}}_{n+1 \text{ volte}} \end{matrix} \] che per ogni \(\displaystyle n \) finito ha sicuramente la potenza del numerabile (infatti se \(\displaystyle A, \ B \) sono insiemi equipotenti ad \(\displaystyle \mathbb{N} \), allora \(\displaystyle A \times B \) è equipotente ad \(\displaystyle \mathbb{N} \)... E il tutto si estende facilmente al prodotto cartesiano "finito").
Un modo piuttosto semplice di vedere questo fatto è considerare \[ \mathbb{Q}_{\le n} [X] = \{ p \in \mathbb{Q}[X] \;\text{ tali che il grado di } p \text{ sia } \le n \} \]
e notare che
\[ \mathbb{Q}[X] = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Q}_{\le n} [X] \]
che quindi risulta riunione numerabile di insiemi finiti. Quindi è numerabile.
e notare che
\[ \mathbb{Q}[X] = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Q}_{\le n} [X] \]
che quindi risulta riunione numerabile di insiemi finiti. Quindi è numerabile.
"Raptorista":
Ti sembra una questione da Analisi Numerica??
Ti rimbalzo ai colleghi che molto più di me si intendono di queste cose... Ma fa' attenzione a dove scrivi!
volevo scusarmi per la categoria,ma gli esercizi di questo tip me li sta dando il professore di Analisi 1,per questo l'ho messa in questa categoria mi dispiace
comunque ringrazio entrambi per le risposte..mi mancava l'informazione che l'unione di numerabili sia numerabile...approfondirò la questione...ringrazio
Guarda la Proposizione 13.3 qui:
Sia $F$ un campo. L’anello dei polinomi $F[X]$ ha cardinalità $|F|$ se $F$ è infinito, e $\aleph_0$ se $F$ è finito.
"Seneca":
che quindi risulta riunione numerabile di insiemi finiti. Quindi è numerabile.
Qui avrei dovuto scrivere insiemi infiniti, ovviamente. Ringrazio Gi8 per avermelo fatto notare.
Scusate.
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