Cardinalità di insiemi

[Angelo210]

Io vorrei dimostrare che se $A$ e $B$ sono due insiemi (finiti o infiniti) con $|A|<|B|$, allora l'insieme delle parti di A ha cardinalità minore dell'insieme della parti di B.
Mi sembra ovvio, però ugualmente non riesco a trovare una dimostrazione di questa proprietà.

Inoltre vorrei dimostrare che se $C$ è un insieme (finito o infinito) con $|C|>=2$ e se $A$ e $B$ sono due insiemi infiniti con $|A|<|B|$, allora l'insieme di tutte le funzioni $f :A -> C$ ha cardinalità minore dell'insieme di tutte le funzioni $g: B -> C$.

Potrebbe per favore aiutarmi dandomi dei suggerimenti?
Ringrazio anticipatamente.

[j18eos]

Ricordati il teorema di Hartogs!

[Studente Anonimo]

Mi sembra che stai chiedendo se [tex]P(A) \cong P(B)[/tex] implica [tex]A \cong B[/tex] dove [tex]A,B[/tex] sono insiemi, [tex]P(A)[/tex] indica l'insieme delle parti di [tex]A[/tex] e [tex]\cong[/tex] indica "equipotente a" cioè "in biiezione con".

Due osservazioni:

1. Con l'ipotesi generalizzata del continuo lo riesci a dimostrare facilmente.
2. Ho paura che senza l'ipotesi generalizzata del continuo non si possa dimostrare.

PS. Armando potresti elaborare? Grazie

[j18eos]

Abozzo l'idea (della prima parte?).

Per le ipotesi \(\displaystyle card(A)

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[Angelo210]

Armando, il teorema di Hartogs afferma che le cardinalità di due qualsiasi insiemi sono confrontabili, cioè per due qualsiasi insiemi $A$ e $B$ risulta $|A|<=|B|$ oppure $|A|>=|B|$.

Armando, la tua bozza di dimostrazione serve per provare che $|P(A)|<=|P(B)|$. Io però voglio dimostrare che $|P(A)|!=|P(B)|$.

Inoltre vorrei dimostrare che se $C$ è un insieme (finito o infinito) con $|C| >= 2$ e se $A$ e $B$ sono due insiemi infiniti con $|A|<|B|$, allora l'insieme di tutte le funzioni $f :A -> C$ ha cardinalità minore dell'insieme di tutte le funzioni $g: B -> C$.

[j18eos]

Ma scusa: non ti basta dimostrare che \(\displaystyle card(A)

Cita

Segnala

[Angelo210]

Sì, mi basta, però il "$<$" è da intendersi in senso stretto e quindi dall'ipotesi che $A$ e $B$ non sono equipotenti, vorrei dimostrare che neanche $P(A)$ e $P(B)$ sono equipotenti.

In altre parole $|P(A)|<|P(B)|$ significa che esiste una funzione iniettiva $psi:P(A)->P(B)$ (per esempio quella che tu hai trovato), ma non esiste alcuna funzione biiettiva $phi:P(A)->P(B)$.

[j18eos]

Detta così (in maniera più chiara), ti ha risposto Martino!

[Angelo210]

Però Martino non mi ha detto se senza l'ipotesi generalizzata del continuo si possa dimostrare che $|A|<|B|$ $=>$ $|P(A)|<|P(B)|$.

[j18eos]

Non basta l'ipotesi del continuo generalizzata? Cioè: \(\displaystyle |A|<|B|\Rightarrow |P(A)|\leq|B|<|P(B)|\)!

[Angelo210]

Certo che basta, infatti Martino già mi aveva detto che con l'ipotesi generalizzata del continuo, facilmente era possibile dimostrare l'implicazione $|A|<|B|$ $=>$ $|P(A)|<=|P(B)|$.
Però quello che vorrei sapere è se è possibile dimostrare tale implicazione senza usare l'ipotesi generalizzata del continuo.

[j18eos]

A naso ti direi di no!

[Studente Anonimo]

Domanda interessante! Può valere in modelli in cui l'ipotesi generalizzata del continuo non vale, per esempio vedi qui (la risposta di François G. Dorais).

[Angelo210]

Martino, ti ringrazio per il link.

[dissonance]

@Angelo: complimenti per la longevità su questo forum! Vedo che sei iscritto da più di dodici anni.

[Angelo210]

Sì, è da molto tempo che sono iscritto e mi ricordo ancora che nei primi anni ho avuto anche scontri molto accesi con un certo lupo grigio il quale a tutti costi voleva dimostrare a modo suo che $0^0=1$.

[j18eos]

Lo sò che dovrei usare il tag OT, ma faccio ben volentieri un'eccezione: complimenti Angelo per la tua esistenza su questo forum!

...lupogrigio è uno dei nomi neri storici di questo forum!