Cardinalita' di anelli quoziente

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno
ho l'ideale $Z[x]$/$I^2$ con $I=(4,x)$ devo calcolare la cardinalita'.
Calcolando $I^2$ ottengo che questo e' $(16,4x,x^(2))$
quindi $Z[x]$/$I^2$ e' isomorfo a $Z[x]$/$(16,4x,x^(2))$ e quindi a $Z16[x]$/$(4x,x^(2))$
ora come trovo la cardinalita'?? potreste spiegarmi passo passo il ragionamento??

la seconda parte mi dice poi che devo dimostare che l'anello $Z[x]$/$(5,2x-2)$ ha cardinalita' 5
quindi io ho scritto $Z[x]$/$(5,2x-2)$ isomorfo a $Z5[x]$/$(2x-2)$ e a questo punto come mi comporto con il due li davanti??

[Stickelberger]

e quindi a $ZZ_{16}[x]/(4x,x^2) ora come trovo la cardinalita'??

Grazie al $x^2$, ogni classe ha un rappresentante della forma $ax+b$ con $a,b\in ZZ_{16}$.
Grazie alla presenza di $4x$ nell'ideale non hai bisogno di ogni $a,b$ $\ldots$

come mi comporto con il due li davanti?

Il due e' invertibile in $ZZ_5$. Puoi quindi dividere per $2$.

[ludovica.sarandrea]

"Stickelberger":

e quindi a $ZZ_{16}[x]/(4x,x^2) ora come trovo la cardinalita'??

Grazie al $x^2$, ogni classe ha un rappresentante della forma $ax+b$ con $a,b\in ZZ_{16}$.
Grazie alla presenza di $4x$ nell'ideale non hai bisogno di ogni $a,b$ $\ldots$

come mi comporto con il due li davanti?

Il due e' invertibile in $ZZ_5$. Puoi quindi dividere per $2$.

Quindi nel primo caso la cardinalità sarebbe 16x4 perche ho $ax+b$ con a che va da 0 a 3 e quindi sono 4 elementi e b che invece va da 0 a 15 e quindi sono 16?

Nel secondo caso invece ottengo $Z5[x]$/$(2x-2)$ isomorfo a $Z5[x]$/$(x-1)$ quindi la cardinalità è 5 giusto?