Cardinalità campo dei quozienti
Salve ragazzi,
ho un problema con il seguente esercizio di Algebra.
Dato il campo $ZZ_(/(3))$ consideriamo $ZZ_(/(3))[x]$. Si determinino i $c in ZZ_(/(3))$ t. c. ${ZZ_(/(3))[x]}/(x^3 + c \cdot x^2 + 1)$ (dove con questo scrittura intendo $ZZ_(/(3))[x]$ quoziente l'ideale generato da $x^3 + c \cdot x^2 + 1$ - scusate, ma non riesco a scriverlo in modo migliore) è un campo e calcolarne la cardinalità.
Notando che se $c=0,1$ il polinomio $x^3 + c \cdot x^2 + 1$ non è irriducibile e che invece per c=2 lo è ho dedotto che l'unico c che soddisfa la condizione è c = 2. Ora però non riesco a calcolare la cardinalità dell'insieme quoziente.
Pensavo di utilizzare il teorema di omomorfismo per gli anelli, ma non riesco a trovare una caratterizzazione dei polinomi che fanno parte dell'ideale generato da $x^3 + 2x^2 + 1$ in modo da poter costruire un omomorfismo che abbia questo ideale come nucleo.
Potreste aiutarmi a capire come fare?
Grazie in anticipo a tutti!
ho un problema con il seguente esercizio di Algebra.
Dato il campo $ZZ_(/(3))$ consideriamo $ZZ_(/(3))[x]$. Si determinino i $c in ZZ_(/(3))$ t. c. ${ZZ_(/(3))[x]}/(x^3 + c \cdot x^2 + 1)$ (dove con questo scrittura intendo $ZZ_(/(3))[x]$ quoziente l'ideale generato da $x^3 + c \cdot x^2 + 1$ - scusate, ma non riesco a scriverlo in modo migliore) è un campo e calcolarne la cardinalità.
Notando che se $c=0,1$ il polinomio $x^3 + c \cdot x^2 + 1$ non è irriducibile e che invece per c=2 lo è ho dedotto che l'unico c che soddisfa la condizione è c = 2. Ora però non riesco a calcolare la cardinalità dell'insieme quoziente.
Pensavo di utilizzare il teorema di omomorfismo per gli anelli, ma non riesco a trovare una caratterizzazione dei polinomi che fanno parte dell'ideale generato da $x^3 + 2x^2 + 1$ in modo da poter costruire un omomorfismo che abbia questo ideale come nucleo.
Potreste aiutarmi a capire come fare?
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Utilizzando la divisione tra polinomî puoi vedere che ogni polinomio è equivalente a un polinomio di secondo grado. E questi ultimi sono a due a due non equivalenti. Pertanto vi sono tanti elementi nel quoziente quanti polinomî di secondo grado. Si vede facilmente poi che questo ragionamento vale per qualsiasi polinomio in un qualsiasi campo.
Innanzitutto grazie per aver risposto, però purtroppo non riesco a capire:
Mi hai consigliato di usare la divisione fra polinomi e io ho pensato di fare così:
Preso $p(x) in ZZ_3[x]$ lo divido per $x^3+2x^2+1$ e ottengo che posso scrivere ogni polinomio come:
$p(x) = h(x) \cdot (x^3+2x^2+1) + r(x)$ dove il grado di r è minore o uguale a due.
Ora però come posso andre avanti? Grazie dell'aiuto!
Mi hai consigliato di usare la divisione fra polinomi e io ho pensato di fare così:
Preso $p(x) in ZZ_3[x]$ lo divido per $x^3+2x^2+1$ e ottengo che posso scrivere ogni polinomio come:
$p(x) = h(x) \cdot (x^3+2x^2+1) + r(x)$ dove il grado di r è minore o uguale a due.
Ora però come posso andre avanti? Grazie dell'aiuto!
Due elementi del quoziente si considerano per definizione equivalenti se la loro differenza sta nell'ideale su cui si fa il quoziente. Nelle tue notazioni $p(x)-r(x)=h(x)\cdot (x^3+2x^2+1)$ appartiene all'ideale generato da $x^3+2x^2+1$, quindi $p(x)$ è equivalente al resto della divisione, che è un polinomio di grado al più due.
Ok, quindi ci sono tanti elementi nel campo quanti polinomi di grado zero, uno e due giusto?
Non sapendo come altro scriverlo considero $(ZZ_3)[x]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in $ZZ/(3ZZ)$.
Adesso, posto $f(x)$ = $x^3+cx^2+1$, gli elementi di $((ZZ_3)[x]) / ((f(x)))$
sono tanti quanti i polinomi di grado minore di $3$ (ovvero $deg$ $f(x)$) in $(ZZ_3)[x]$, più il polinomio nullo.
Adesso, posto $f(x)$ = $x^3+cx^2+1$, gli elementi di $((ZZ_3)[x]) / ((f(x)))$
sono tanti quanti i polinomi di grado minore di $3$ (ovvero $deg$ $f(x)$) in $(ZZ_3)[x]$, più il polinomio nullo.
"Edex":
Ok, quindi ci sono tanti elementi nel campo quanti polinomi di grado zero, uno e due giusto?
Sì, esatto.
Perfetto, grazie!
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